337. Točka \( M \) leži na daljici \( A B \) tako, da je \( |A M|:|A B|=2: 5 \). Zapišite komponente krajevnega vektorja točke \( M \), če je \( A(3,-2,1) \) in \( B(-2,8,-4) \).

Najprej izračunamo vektor \( \vec{AB} \), ki ga dobimo tako, da od koordinates točke \( B \) odštejemo koordinate točke \( A \): \[ \vec{AB} = B - A = (-2, 8, -4) - (3, -2, 1) = (-2 - 3, 8 - (-2), -4 - 1) = (-5, 10, -5). \] Nato izračunamo dolžino daljice \( |AB| \): \[ |AB| = \sqrt{(-5)^2 + (10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 100 + 25} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}. \] Ker je razmerje \( |AM|:|AB| = 2:5 \), izračunamo dolžino segmenta \( |AM| \): \[ |AM| = \frac{2}{5} |AB| = \frac{2}{5} \cdot 5\sqrt{6} = 2\sqrt{6}. \] Točka \( M \) leži na daljici \( AB \), tako da je njen krajevni vektor podan z izrazom: \[ \vec{M} = \vec{A} + t \cdot \vec{AB}, \] kjer \( t = \frac{|AM|}{|AB|} = \frac{2/5}{1} = \frac{2}{5} \). Malce izračunamo: \[ \vec{M} = (3, -2, 1) + \frac{2}{5} \cdot (-5, 10, -5). \] Sedaj izračunamo komponente: \[ \vec{M} = (3, -2, 1) + (-2, 4, -2) = (3 - 2, -2 + 4, 1 - 2) = (1, 2, -1). \] Torej so komponente krajevnega vektorja točke \( M \): \[ M(1, 2, -1). \]