\begin{tabular}{|l|}8. \ Conducendo da un punto $$ P $$, esterno a una cir- \ conferenza di centro 0 e raggio lungo $$ 20 \mathrm{~cm}, ~ i $$ \ due segmenti di tangenza $$ P A $$ e $$ P B $$, si ottiene il \ quadrilatero $$ P A O B $$. Sapendo che l'area del qua- \ drilatero è $$ 960 \mathrm{~cm}^{2} $$, calcola la distanza del pun- \ to $$ P $$ dal centro della circonferenza. \ \ \ \hline 52 cm$$ ] $$ \ \hline\end{tabular}

Question

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Para resolver el problema, sigamos estos pasos detalladamente:

**Datos del problema:**
- Centro de la circunferencia: $$ O $$
- Radio de la circunferencia: $$ OA = OB = 20 $$ cm
- Puntos de tangencia: $$ A $$ y $$ B $$
- Segmentos tangentes: $$ PA $$ y $$ PB $$ (ambos de igual longitud)
- Área del cuadrilátero $$ PAOB $$: $$ 960 \, \text{cm}^2 $$
- Queremos encontrar la distancia $$ OP $$.

**Paso 1: Relación entre los segmentos tangentes y la distancia $$ OP $$**
Dado que $$ PA $$ y $$ PB $$ son segmentos tangentes desde un mismo punto exterior $$ P $$ a la circunferencia, se cumple que $$ PA = PB = t $$.

En el triángulo rectángulo $$ OPA $$ (ya que la tangente en $$ A $$ es perpendicular al radio en ese punto), aplicamos el teorema de Pitágoras:
$$
OP^2 = OA^2 + PA^2 \quad \Rightarrow \quad d^2 = 20^2 + t^2 \quad \Rightarrow \quad d^2 = 400 + t^2
$$
donde $$ d = OP $$.

**Paso 2: Cálculo del área del cuadrilátero $$ PAOB $$**
El cuadrilátero $$ PAOB $$ está formado por dos triángulos rectángulos: $$ OPA $$ y $$ OPB $$. La suma de sus áreas es igual al área total del cuadrilátero:
$$
\text{Área} = \text{Área}_{OPA} + \text{Área}_{OPB} = 2 \left( \frac{1}{2} \cdot OA \cdot PA \right) = OA \cdot PA = 20 \cdot t
$$
Según el problema, el área es $$ 960 \, \text{cm}^2 $$:
$$
20 \cdot t = 960 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{960}{20} = 48 \, \text{cm}
$$

**Paso 3: Determinar la distancia $$ OP $$**
Ahora que conocemos $$ t = 48 $$ cm, sustituimos en la ecuación obtenida en el Paso 1:
$$
d^2 = 400 + (48)^2 = 400 + 2304 = 2704 \quad \Rightarrow \quad d = \sqrt{2704} = 52 \, \text{cm}
$$

**Conclusión:**
La distancia del punto $$ P $$ al centro de la circunferencia es de **52 cm**.
La distancia del punto $$ P $$ al centro de la circunferencia es de **52 cm**.

8.

Conducendo da un punto , esterno a una cir-

conferenza di centro 0 e raggio lungo

due segmenti di tangenza e , si ottiene il

quadrilatero . Sapendo che l'area del qua-

drilatero è , calcola la distanza del pun-

to dal centro della circonferenza.

52 cm

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8. Conducendo da un punto , esterno a una cir- conferenza di centro 0 e raggio lungo due segmenti di tangenza e , si ottiene il quadrilatero . Sapendo che l'area del qua- drilatero è , calcola la distanza del pun- to dal centro della circonferenza. 52 cm