Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por el método adecuado. $$ \cos y d x-\left(x \operatorname{sen} y-e^{y}\right) d y=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideremos la ecuación diferencial

$$
\cos y\,dx - \left(x\sin y - e^y\right)\,dy = 0.
$$

Podemos escribirla en la forma estándar

$$
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
$$

donde

$$
M(x,y)=\cos y,\quad N(x,y)=-x\sin y+e^y.
$$

### Paso 1. Comprobar si la ecuación es exacta

Recordamos que una ecuación es exacta si se tiene

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
$$

Calculamos

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\cos y) = -\sin y,
$$

y

$$
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x\sin y + e^y) = -\sin y \quad \text{(ya que } e^y \text{ no depende de } x).
$$

Como

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = -\sin y = \frac{\partial N}{\partial x},
$$

la ecuación es exacta.

### Paso 2. Encontrar la función potencial

Existe una función $$ \Psi(x,y) $$ tal que

$$
\Psi_x(x,y)=M(x,y) \quad \text{y} \quad \Psi_y(x,y)=N(x,y).
$$

Empezamos integrando $$ M(x,y) $$ respecto a $$ x $$:

$$
\Psi(x,y) = \int M(x,y)\,dx = \int \cos y\,dx = x\cos y + g(y),
$$

donde $$ g(y) $$ es una función de $$ y $$ que surge de la integración.

### Paso 3. Determinar $$ g(y) $$

Derivamos $$ \Psi(x,y) $$ respecto a $$ y $$:

$$
\Psi_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\left(x\cos y + g(y)\right) = -x\sin y + g'(y).
$$

Pero sabemos que $$ \Psi_y(x,y) $$ debe ser igual a $$ N(x,y) $$, es decir:

$$
-x\sin y + g'(y) = -x\sin y + e^y.
$$

De donde se deduce que

$$
g'(y) = e^y.
$$

Integrando con respecto a $$ y $$:

$$
g(y) = \int e^y\,dy = e^y + C_1,
$$

donde $$ C_1 $$ es una constante de integración. Podemos absorber $$ C_1 $$ en la constante final, por lo que se toma $$ g(y)= e^y $$.

### Paso 4. Escribir la solución general

La función potencial es

$$
\Psi(x,y) = x\cos y + e^y.
$$

La solución general de la ecuación diferencial es la familia de curvas definidas por

$$
\Psi(x,y)= \text{constante} \quad \Longrightarrow \quad x\cos y + e^y = C,
$$

donde $$ C $$ es una constante arbitraria.

Esta es la solución buscada.
La solución general de la ecuación diferencial es $$ x\cos y + e^y = C $$, donde $$ C $$ es una constante.

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por el método adecuado.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Paso 1. Comprobar si la ecuación es exacta

Paso 2. Encontrar la función potencial

Paso 3. Determinar

Paso 4. Escribir la solución general

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions