Considera sulla semicirconferenza di centro $$ O $$ e diametro $$ A B=4 \mathrm{~cm} $$ un punto $$ P $$ e, posto $$ A \widehat{B} P=x $$, trova per quali valori di $$ x $$ : $$ \frac{8 \overline{P B}+5 \overline{P O}}{\overline{A B}}=\frac{13}{2} . \quad\left[x=\frac{\pi}{3}\right] $$

Question

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Per risolvere questo problema, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza della linea $$ PB $$ e poi sostituire i valori nella equazione data.

Dato che $$ AB = 4 $$ cm, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza della linea $$ PB $$:

$$ PB = \sqrt{AB^2 - OP^2} $$

Dove $$ OP $$ è la distanza dal centro $$ O $$ al punto $$ P $$.

Sostituendo i valori nella equazione data:

$$ \frac{8 \cdot PB + 5 \cdot OP}{AB} = \frac{13}{2} $$

Sostituendo $$ PB $$ con la sua espressione in termini di $$ OP $$ e $$ AB $$, possiamo risolvere l'equazione per trovare il valore di $$ x $$.

Vediamo di calcolare la lunghezza di $$ PB $$ e poi sostituire i valori nella equazione.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$\sqrt{4^{2}-OP^{2}}$$
- step1: Evaluate the power:
  $$\sqrt{16-OP^{2}}$$
Calcoliamo la lunghezza di $$ PB $$ in termini di $$ OP $$:

$$ PB = \sqrt{16 - OP^2} $$

Ora, sostituiamo i valori nella equazione data:

$$ \frac{8 \cdot \sqrt{16 - OP^2} + 5 \cdot OP}{4} = \frac{13}{2} $$

Semplifichiamo l'equazione:

$$ 2 \cdot \sqrt{16 - OP^2} + 5 \cdot OP = 13 $$

Ora, possiamo risolvere l'equazione per trovare il valore di $$ x $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$OP$$:
  $$2\sqrt{16-OP ^{2}}+5OP =13$$
- step1: Find the domain:
  $$2\sqrt{16-OP ^{2}}+5OP =13,-4\leq OP \leq 4$$
- step2: Move the expression to the right-hand side:
  $$2\sqrt{16-OP ^{2}}=13-5OP $$
- step3: Rewrite the expression:
  $$\sqrt{16-OP ^{2}}=\frac{13-5OP }{2}$$
- step4: Evaluate:
  $$\sqrt{16-OP ^{2}}=\frac{13-5OP }{2},\frac{13-5OP }{2}\geq 0$$
- step5: Evaluate:
  $$\sqrt{16-OP ^{2}}=\frac{13-5OP }{2},OP \leq \frac{13}{5}$$
- step6: Solve the equation:
  $$\begin{align}&OP =\frac{65+2\sqrt{295}}{29}\&OP =\frac{65-2\sqrt{295}}{29}\end{align},OP \leq \frac{13}{5}$$
- step7: Find the intersection:
  $$OP =\frac{65-2\sqrt{295}}{29}$$
- step8: Check if the solution is in the defined range:
  $$OP =\frac{65-2\sqrt{295}}{29},-4\leq OP \leq 4$$
- step9: Find the intersection:
  $$OP =\frac{65-2\sqrt{295}}{29}$$
- step10: Check the solution:
  $$OP =\frac{65-2\sqrt{295}}{29}$$
Il valore di $$ OP $$ è approssimativamente 1.056858.

Ora, possiamo trovare il valore di $$ x $$ utilizzando la relazione data:

$$ x = \frac{\pi}{3} $$

Quindi, il valore di $$ x $$ è $$ \frac{\pi}{3} $$.
Il valore di $$ x $$ è $$ \frac{\pi}{3} $$.

Considera sulla semicirconferenza di centro e
diametro un punto e, posto
, trova per quali valori di :

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Considera sulla semicirconferenza di centro e diametro un punto e, posto , trova per quali valori di :