6 Der Bürgermeister einer Stadt plant, den Bau eines Fußballstadions zu bezuschussen, wenn
mindestens der Bürger zustimmen. Die Stadtverwaltung behauptet, dass dies der Fall ist.
Eine Bürgerinitiative glaubt dagegen, dass der tatsächliche Prozentsatz der Befürworter weniger
als beträgt. Zur Uberprüfung der Behauptungen wird ein Signifikanztest der Nullhypothese
auf dem Signifikanzniveau mit dem Stichprobenumfang durchgeführt.
a) Wie testet die Stadtverwaltung? Bei welchen Ergebnissen sieht sie sich bestätigt?
b) Wie testet die Bürgerinitiative? Bei welchen Ergebnissen sieht sie sich bestätigt?
c) Bei welchen Stichprobenergebnissen kann weder die Stadtverwaltung noch die Bürger-
initiative die Nullhypothese verwerfen?

Ask by Tyler Hardy. in Germany

Mar 24,2025

Question

6 Der Bürgermeister einer Stadt plant, den Bau eines Fußballstadions zu bezuschussen, wenn
mindestens der Bürger zustimmen. Die Stadtverwaltung behauptet, dass dies der Fall ist.
Eine Bürgerinitiative glaubt dagegen, dass der tatsächliche Prozentsatz der Befürworter weniger
als beträgt. Zur Uberprüfung der Behauptungen wird ein Signifikanztest der Nullhypothese
auf dem Signifikanzniveau mit dem Stichprobenumfang durchgeführt.
a) Wie testet die Stadtverwaltung? Bei welchen Ergebnissen sieht sie sich bestätigt?
b) Wie testet die Bürgerinitiative? Bei welchen Ergebnissen sieht sie sich bestätigt?
c) Bei welchen Stichprobenergebnissen kann weder die Stadtverwaltung noch die Bürger-
initiative die Nullhypothese verwerfen?

Ask by Tyler Hardy. in Germany

Mar 24,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Um die Fragen zu beantworten, betrachten wir die Hypothesen und die Vorgehensweise für den Signifikanztest.

### a) Test der Stadtverwaltung

Die Stadtverwaltung testet die Nullhypothese $$ H_{0}: p = 0,75 $$ gegen die Alternativhypothese $$ H_{1}: p > 0,75 $$.

- **Teststatistik**: Da wir eine große Stichprobe haben ($$ n = 100 $$), können wir die Normalverteilung verwenden. Die Teststatistik $$ z $$ wird wie folgt berechnet:

$$
z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}}
$$

wobei $$ \hat{p} $$ der beobachtete Anteil der Befürworter ist, $$ p_0 = 0,75 $$ und $$ n = 100 $$.

- **Kritischer Wert**: Bei einem Signifikanzniveau von $$ 5\% $$ (einseitiger Test) ist der kritische Wert für $$ z $$ etwa $$ 1,645 $$.

- **Ergebnisse**: Die Stadtverwaltung sieht sich bestätigt, wenn die Teststatistik $$ z $$ größer als $$ 1,645 $$ ist, was bedeutet, dass der beobachtete Anteil $$ \hat{p} $$ größer als $$ 0,75 $$ ist.

### b) Test der Bürgerinitiative

Die Bürgerinitiative testet die Nullhypothese $$ H_{0}: p = 0,75 $$ gegen die Alternativhypothese $$ H_{1}: p < 0,75 $$.

- **Teststatistik**: Die Berechnung der Teststatistik erfolgt wie oben beschrieben.

- **Kritischer Wert**: Bei einem Signifikanzniveau von $$ 5\% $$ (einseitiger Test) ist der kritische Wert für $$ z $$ etwa $$ -1,645 $$.

- **Ergebnisse**: Die Bürgerinitiative sieht sich bestätigt, wenn die Teststatistik $$ z $$ kleiner als $$ -1,645 $$ ist, was bedeutet, dass der beobachtete Anteil $$ \hat{p} $$ kleiner als $$ 0,75 $$ ist.

### c) Ergebnisse, bei denen weder die Stadtverwaltung noch die Bürgerinitiative die Nullhypothese verwerfen können

Weder die Stadtverwaltung noch die Bürgerinitiative können die Nullhypothese verwerfen, wenn die Teststatistik $$ z $$ zwischen $$ -1,645 $$ und $$ 1,645 $$ liegt. Das bedeutet, dass der beobachtete Anteil $$ \hat{p} $$ in einem Bereich liegt, der als nicht signifikant angesehen wird, also:

$$
-1,645 < z < 1,645
$$

Das entspricht einem beobachteten Anteil $$ \hat{p} $$ zwischen etwa $$ 0,65 $$ und $$ 0,75 $$ (unter der Annahme, dass wir die Normalverteilung verwenden).
a) Die Stadtverwaltung bestätigt ihre Behauptung, wenn mehr als 75% der Bürger für den Fußballstadionbau stimmen. b) Die Bürgerinitiative bestätigt ihre Behauptung, wenn weniger als 75% der Bürger für den Fußballstadionbau stimmen. c) Weder die Stadtverwaltung noch die Bürgerinitiative können die Nullhypothese verwerfen, wenn der Anteil der Befürworter zwischen 65% und 75% liegt.

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