1. Fie \( S=\left\{(3 a-b, a, b) \in \mathbf{R}^{3} \mid a, b \in \mathbf{R}\right\} \) şi \( W=\left\{v=(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid 2 x-3 y+4 z=0\right\} \). a Să se verifice că \( S \) este subspatiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \). b Să se determine \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} S \) şi \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} W \), indicând câte o bază în fiecare. c Să se determine \( S+W \) şi \( S \cap W \). Este suma directă? (Justificati!!) d Să se afle \( S^{\perp} \), complementul ortogonal al lui \( S \) (se consideră produsul scalar uzual). e Ce reprezintă din punct de vedere geometric \( S, S^{\perp}, W, S+W \) şi \( S \cap W \) ?.

Desigur! Vom explora fiecare parte a acestei probleme pas cu pas. **a. Verificare subspațiu:** Pentru a demonstra că \( S \) este un subspațiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \), trebuie să arătăm că este închis sub adunare și înmulțire cu un scalar. Avem două elemente generale ale lui \( S \): \( v_1 = (3a_1-b_1, a_1, b_1) \) și \( v_2 = (3a_2-b_2, a_2, b_2) \). Adunând acestea, obținem: \[ v_1 + v_2 = (3a_1 - b_1 + 3a_2 - b_2, a_1 + a_2, b_1 + b_2) = (3(a_1 + a_2) - (b_1 + b_2), a_1 + a_2, b_1 + b_2) \] Deci \( v_1 + v_2 \in S \). De asemenea, pentru un scalar \( c \), \( c v_1 = (c(3a_1 - b_1), ca_1, cb_1) \), deci \( c v_1 \in S \). Acest lucru arată că \( S \) este subspațiu. **b. Dimensiuni și bază:** Pentru \( S \), notăm că orice element poate fi scris ca \( v = (3a - b, a, b) \) unde \( a \) și \( b \) sunt parametrii liberi. Putem reprezenta orice \( v \in S \) ca: \[ v = a(3, 1, 0) + b(-1, 0, 1) \] Deci bazele sunt \( \{(3, 1, 0), (-1, 0, 1)\} \) iar dimensiunea \( \operatorname{dim}_{\mathbf{R}} S = 2 \). Pentru \( W \), ecuația \( 2x - 3y + 4z = 0 \) descrie un plan în \( \mathbf{R}^3 \), deci dimensiunea este \( 2 \) (pentru că orice plan are dimensiunea 2). O bază pentru \( W \) poate fi, de exemplu, \( \{(3, 2, 0), (4, 0, 1)\} \). **c. Suma și intersecția subspațiilor:** Pentru a determina \( S + W \) și \( S \cap W \), se analizează combinațiile generatorilor ambelor subspații. \( S + W \) va fi un subspațiu generat de generatorii amândurora. Intersecția \( S \cap W \) constă din vectori care se află atât în \( S \) cât și în \( W \). Aici trebuie să rezolvăm simultan ecuația din \( W \) cu conditiile din \( S \). Pentru a verifica dacă suma este directă, trebuie să ne asigurăm că intersecția \( S \cap W = \{0\} \). Dacă un vector care aparține ambelor spații este zero, putem concluziona că suma este directă. **d. Complementul ortogonal:** Complementul ortogonal \( S^{\perp} \) conține toți vectorii \( v \) din \( \mathbf{R}^3 \) care sunt ortogonali cu fiecare vector din \( S \). Se determină prin rezolvarea produsului scalar \( v \cdot u = 0 \) pentru toți vectorii \( u \in S \). **e. Interpretări geometrice:** Geometric, \( S \) reprezintă un plan în \( \mathbf{R}^{3} \) care se extinde prin vectorii săi generatori. Duplicarea și intersecția sa cu \( W \) (un alt plan) determină o linie sau un punct (dacă sunt paralele). Complementul ortogonal \( S^{\perp} \) este o direcție perpendiculară pe acel plan, iar suma \( S + W \) poate fi o pătrime în spațiu, având un volum corespunzător dimensiunii.