Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo \( A(-2,1) \) e \( B(2,2) \). Si consideri l'insieme \( \mathcal{C} \) dei punti \( P \) del piano per cui i vettori \( \overrightarrow{A P} \) e \( \overrightarrow{B P} \) sono ortogonali. (ه) Provare che \( \mathcal{C} \) è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana. () Trovare centro e raggio di \( \mathcal{C} \). Costruire le rette passanti per l'origine che sono tangenti a \( \mathcal{C} \). (d) Si chiami \( A^{\prime} B^{\prime} \) il diametro di \( \mathcal{C} \) che è parallelo all'asse \( x \). Calcolare l'area del triangolo \( A^{\prime} O B^{\prime} \).

**Soluzione dell'Esercizio 2** Siano dati i punti \( A(-2,1) \) e \( B(2,2) \) nel piano euclideo. Consideriamo l'insieme \( \mathcal{C} \) dei punti \( P(x, y) \) tali che i vettori \( \overrightarrow{AP} \) e \( \overrightarrow{BP} \) siano ortogonali, ovvero \( \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 \). ### (c) Dimostrazione che \( \mathcal{C} \) è una circonferenza e determinazione della sua equazione cartesiana **Calcolo della condizione di ortogonalità:** \[ \overrightarrow{AP} = (x + 2, y - 1) \] \[ \overrightarrow{BP} = (x - 2, y - 2) \] L'ortogonalità richiede: \[ \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = (x + 2)(x - 2) + (y - 1)(y - 2) = 0 \] Sviluppiamo i prodotti: \[ (x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 \] \[ (y - 1)(y - 2) = y^2 - 3y + 2 \] Quindi: \[ x^2 - 4 + y^2 - 3y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 - 3y - 2 = 0 \] **Completamento del quadrato per \( y \):** \[ y^2 - 3y = \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} \] Sostituendo nell'equazione: \[ x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4} \] Quindi, \( \mathcal{C} \) è una circonferenza con equazione cartesiana: \[ x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4} \] ### (d) Determinazione del centro e del raggio di \( \mathcal{C} \) Dall'equazione della circonferenza: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Confrontando, otteniamo: \[ h = 0, \quad k = \frac{3}{2}, \quad r = \frac{\sqrt{17}}{2} \] Quindi: - **Centro**: \( C(0, \frac{3}{2}) \) - **Raggio**: \( r = \frac{\sqrt{17}}{2} \) **Costruzione delle rette tangenti a \( \mathcal{C} \) passanti per l'origine \( O(0,0) \):** Per determinare se esistono rette tangenti alla circonferenza \( \mathcal{C} \) che passano per l'origine, calcoliamo la distanza dall'origine al centro della circonferenza: \[ d = \sqrt{h^2 + k^2} = \sqrt{0^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3}{2} \] Confrontiamo con il raggio: \[ d = \frac{3}{2} \approx 1,5 \quad \text{e} \quad r = \frac{\sqrt{17}}{2} \approx 2,06 \] Poiché \( d < r \), l'origine \( O \) si trova all'interno della circonferenza \( \mathcal{C} \). Pertanto, **non esistono** rette tangenti a \( \mathcal{C} \) che passano per l'origine. ### (e) Calcolo dell'area del triangolo \( A' O B' \) **Determinazione dei punti \( A' \) e \( B' \):** Dato che \( A'B' \) è un diametro parallelo all'asse \( x \), i suoi estremi rispetto al centro \( C(0, \frac{3}{2}) \) sono: \[ A'\left(h + r, k\right) = \left(\frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2}\right) \] \[ B'\left(h - r, k\right) = \left(-\frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2}\right) \] **Calcolo dell'area del triangolo \( A' O B' \):** I vertici del triangolo sono: \[ A'\left(\frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad B'\left(-\frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad O(0,0) \] Utilizziamo la formula dell'area per tre punti: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Sostituendo: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \frac{\sqrt{17}}{2} \left(\frac{3}{2} - 0\right) + \left(-\frac{\sqrt{17}}{2}\right) \left(0 - \frac{3}{2}\right) + 0 \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{3\sqrt{17}}{4} + \frac{3\sqrt{17}}{4} + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{6\sqrt{17}}{4} \right| = \frac{3\sqrt{17}}{4} \] Quindi, **l'area del triangolo \( A' O B' \) è \( \frac{3\sqrt{17}}{4} \)**.