Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo e . Si consideri l’insieme
dei punti del piano per cui i vettori e sono ortogonali.
(ه) Provare che è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana.
() Trovare centro e raggio di .
Costruire le rette passanti per l’origine che sono tangenti a .
(d) Si chiami il diametro di che è parallelo all’asse . Calcolare l’area del triangolo
.

Ask by Ellis Burton. in Italy

Jan 13,2025

Question

Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo e . Si consideri l’insieme
dei punti del piano per cui i vettori e sono ortogonali.
(ه) Provare che è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana.
() Trovare centro e raggio di .
Costruire le rette passanti per l’origine che sono tangenti a .
(d) Si chiami il diametro di che è parallelo all’asse . Calcolare l’area del triangolo
.

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Jan 13,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

**Soluzione dell'Esercizio 2**

Siano dati i punti $$ A(-2,1) $$ e $$ B(2,2) $$ nel piano euclideo. Consideriamo l'insieme $$ \mathcal{C} $$ dei punti $$ P(x, y) $$ tali che i vettori $$ \overrightarrow{AP} $$ e $$ \overrightarrow{BP} $$ siano ortogonali, ovvero $$ \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 $$.

### (c) Dimostrazione che $$ \mathcal{C} $$ è una circonferenza e determinazione della sua equazione cartesiana

**Calcolo della condizione di ortogonalità:**
$$
\overrightarrow{AP} = (x + 2, y - 1)
$$
$$
\overrightarrow{BP} = (x - 2, y - 2)
$$
L'ortogonalità richiede:
$$
\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = (x + 2)(x - 2) + (y - 1)(y - 2) = 0
$$
Sviluppiamo i prodotti:
$$
(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4
$$
$$
(y - 1)(y - 2) = y^2 - 3y + 2
$$
Quindi:
$$
x^2 - 4 + y^2 - 3y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 - 3y - 2 = 0
$$
**Completamento del quadrato per $$ y $$:**
$$
y^2 - 3y = \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}
$$
Sostituendo nell'equazione:
$$
x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4}
$$
Quindi, $$ \mathcal{C} $$ è una circonferenza con equazione cartesiana:
$$
x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4}
$$

### (d) Determinazione del centro e del raggio di $$ \mathcal{C} $$

Dall'equazione della circonferenza:
$$
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
$$
Confrontando, otteniamo:
$$
h = 0, \quad k = \frac{3}{2}, \quad r = \frac{\sqrt{17}}{2}
$$
Quindi:
- **Centro**: $$ C(0, \frac{3}{2}) $$
- **Raggio**: $$ r = \frac{\sqrt{17}}{2} $$

**Costruzione delle rette tangenti a $$ \mathcal{C} $$ passanti per l'origine $$ O(0,0) $$:**

Per determinare se esistono rette tangenti alla circonferenza $$ \mathcal{C} $$ che passano per l'origine, calcoliamo la distanza dall'origine al centro della circonferenza:
$$
d = \sqrt{h^2 + k^2} = \sqrt{0^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3}{2}
$$
Confrontiamo con il raggio:
$$
d = \frac{3}{2} \approx 1,5 \quad \text{e} \quad r = \frac{\sqrt{17}}{2} \approx 2,06
$$
Poiché $$ d < r $$, l'origine $$ O $$ si trova all'interno della circonferenza $$ \mathcal{C} $$. Pertanto, **non esistono** rette tangenti a $$ \mathcal{C} $$ che passano per l'origine.

### (e) Calcolo dell'area del triangolo $$ A' O B' $$

**Determinazione dei punti $$ A' $$ e $$ B' $$:**

Dato che $$ A'B' $$ è un diametro parallelo all'asse $$ x $$, i suoi estremi rispetto al centro $$ C(0, \frac{3}{2}) $$ sono:
$$
A'\left(h + r, k\right) = \left(\frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2}\right)
$$
$$
B'\left(h - r, k\right) = \left(-\frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2}\right)
$$

**Calcolo dell'area del triangolo $$ A' O B' $$:**

I vertici del triangolo sono:
$$
A'\left(\frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad B'\left(-\frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{3}{2}\right), \quad O(0,0)
$$

Utilizziamo la formula dell'area per tre punti:
$$
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
$$
Sostituendo:
$$
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| \frac{\sqrt{17}}{2} \left(\frac{3}{2} - 0\right) + \left(-\frac{\sqrt{17}}{2}\right) \left(0 - \frac{3}{2}\right) + 0 \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right) \right|
$$
$$
= \frac{1}{2} \left| \frac{3\sqrt{17}}{4} + \frac{3\sqrt{17}}{4} + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{6\sqrt{17}}{4} \right| = \frac{3\sqrt{17}}{4}
$$
Quindi, **l'area del triangolo $$ A' O B' $$ è $$ \frac{3\sqrt{17}}{4} $$**.
**Soluzione dell'Esercizio 2** Siano dati i punti $$ A(-2,1) $$ e $$ B(2,2) $$ nel piano euclideo. Consideriamo l'insieme $$ \mathcal{C} $$ dei punti $$ P(x, y) $$ tali che i vettori $$ \overrightarrow{AP} $$ e $$ \overrightarrow{BP} $$ siano ortogonali. ### (c) $$ \mathcal{C} $$ è una circonferenza con equazione $$ x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4} $$. ### (d) Centro $$ C(0, \frac{3}{2}) $$ e raggio $$ \frac{\sqrt{17}}{2} $$. Non esistono rette tangenti a $$ \mathcal{C} $$ passanti per l'origine. ### (e) L'area del triangolo $$ A' O B' $$ è $$ \frac{3\sqrt{17}}{4} $$.

Upstudy AI Solution

Answer

© è una circonferenza con equazione .

(d) Centro e raggio . Non esistono rette tangenti a passanti per l’origine.

(e) L’area del triangolo è .

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