Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo \( A(-2,1) \) e \( B(2,2) \). Si consideri l'insieme \( \mathcal{C} \) dei punti \( P \) del piano per cui i vettori \( \overrightarrow{A P} \) e \( \overrightarrow{B P} \) sono ortogonali. (ه) Provare che \( \mathcal{C} \) è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana. () Trovare centro e raggio di \( \mathcal{C} \). Costruire le rette passanti per l'origine che sono tangenti a \( \mathcal{C} \). (d) Si chiami \( A^{\prime} B^{\prime} \) il diametro di \( \mathcal{C} \) che è parallelo all'asse \( x \). Calcolare l'area del triangolo \( A^{\prime} O B^{\prime} \).

Per dimostrare che l'insieme \( \mathcal{C} \) è una circonferenza, consideriamo il prodotto scalare dei vettori \( \overrightarrow{A P} \) e \( \overrightarrow{B P} \) che deve essere zero. Esplicitando i punti \( P(x, y) \), si ottiene l'equazione \((x + 2)(x - 2) + (y - 1)(y - 2) = 0\). Semplificando, si arriva all'equazione della circonferenza \((x - 0)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}\). Il centro della circonferenza è quindi il punto \( (0, \frac{3}{2}) \) e il raggio è \( \frac{\sqrt{13}}{2} \). Per trovare le rette tangenti che passano per l'origine, si utilizza la formula della distanza dal punto all'equazione della circonferenza. Risolvendo, otteniamo due tangenti che hanno come pendenza le soluzioni dell’equazione quadratica ottenuta dal sistema. Infine, per calcolare l'area del triangolo \( A'OB' \), si utilizza la formula \( \text{Area} = \frac{1}{2} \cdot {base} \cdot {altezza} \) con il diametro \( A'B' = 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13} \) lungo l'asse \( x \) e altezza \( \frac{3}{2} \). Quindi, l'area sarà \( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{3}{2} \).