\begin{tabular}{l} 55. $$ f(x, y)=x y $$ 일 때 기울기 벡터 $$
abla f(3,2) $$ 를 구하고, 그것을 이 \ 용하여 점 $$ (3,2) $$ 에서 등위곡선 $$ f(x, y)=6 $$ 의 접선을 구하여라. \ 등위곡선, 접선, 기울기 벡터의 개형을 그려라. \ \hline\end{tabular}

Question

\begin{tabular}{l} 55. $$ f(x, y)=x y $$ 일 때 기울기 벡터 $$ 
abla f(3,2) $$ 를 구하고, 그것을 이 \ 용하여 점 $$ (3,2) $$ 에서 등위곡선 $$ f(x, y)=6 $$ 의 접선을 구하여라. \ 등위곡선, 접선, 기울기 벡터의 개형을 그려라. \ \hline\end{tabular}

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주어진 함수 $$ f(x, y) = xy $$의 기울기 벡터 $$ \nabla f(x, y) $$를 구하기 위해, 먼저 편미분을 계산합니다.

1. **편미분 계산**:
   - $$ f $$의 $$ x $$에 대한 편미분:
     $$
     f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = y
     $$
   - $$ f $$의 $$ y $$에 대한 편미분:
     $$
     f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = x
     $$

2. **기울기 벡터**:
   기울기 벡터는 다음과 같이 표현됩니다:
   $$
   \nabla f(x, y) = \left( f_x(x, y), f_y(x, y) \right) = (y, x)
   $$
   따라서, 점 $$ (3, 2) $$에서의 기울기 벡터는:
   $$
   \nabla f(3, 2) = (2, 3)
   $$

3. **등위곡선**:
   등위곡선 $$ f(x, y) = 6 $$을 구하기 위해, $$ xy = 6 $$을 만족하는 $$ (x, y) $$의 조합을 찾습니다. 이 곡선은 쌍곡선의 형태를 가집니다.

4. **접선 구하기**:
   점 $$ (3, 2) $$에서의 접선을 구하기 위해, 기울기 벡터 $$ \nabla f(3, 2) = (2, 3) $$를 사용합니다. 접선의 기울기는 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} $$입니다. 점 $$ (3, 2) $$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다:
   $$
   y - 2 = \frac{3}{2}(x - 3)
   $$
   이를 정리하면:
   $$
   y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} + 2 = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}
   $$

5. **개형 그리기**:
   - **등위곡선**: $$ xy = 6 $$의 형태는 쌍곡선입니다.
   - **접선**: $$ y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} $$의 형태는 직선입니다.
   - **기울기 벡터**: $$ (2, 3) $$는 점 $$ (3, 2) $$에서 오른쪽으로 2, 위로 3의 방향을 나타냅니다.

이제 이 내용을 바탕으로 그래프를 그리면 다음과 같은 형태가 됩니다:

- 쌍곡선 $$ xy = 6 $$은 1사분면과 3사분면에 위치합니다.
- 접선은 점 $$ (3, 2) $$에서 쌍곡선에 접하며, 기울기가 $$ \frac{3}{2} $$인 직선입니다.
- 기울기 벡터는 점 $$ (3, 2) $$에서 오른쪽으로 2, 위로 3의 방향으로 그려집니다.

이와 같은 방식으로 그래프를 그리면, 등위곡선과 접선, 기울기 벡터의 관계를 시각적으로 확인할 수 있습니다.
기울기 벡터 $$ \nabla f(3, 2) $$는 $$ (2, 3) $$입니다. 접선의 방정식은 $$ y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} $$입니다. 등위곡선 $$ f(x, y) = 6 $$은 쌍곡선입니다.

55. 일 때 기울기 벡터 를 구하고, 그것을 이

용하여 점 에서 등위곡선 의 접선을 구하여라.

등위곡선, 접선, 기울기 벡터의 개형을 그려라.

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55. 일 때 기울기 벡터 를 구하고, 그것을 이 용하여 점 에서 등위곡선 의 접선을 구하여라. 등위곡선, 접선, 기울기 벡터의 개형을 그려라.