2. Sea $$ \mathbf{t}=-6 \mathbf{i}-7 \mathbf{j} $$ y sea $$ \mathbf{u}=-5 \mathbf{i}+3 \mathbf{j} $$. Calcular la medida del ángulo que forman $$ \mathbf{t y} \mathbf{u} $$. (b) (b) Determinar si $$ \mathbf{t} y \mathbf{u} $$ son paralelos, ortogonales, o ninguno de los dos. paralelos ortogonales no son ni paralelos ni ortogonales

Question

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Para resolver los incisos planteados, consideremos los vectores dados:

$$
\mathbf{t} = -6\,\mathbf{i} - 7\,\mathbf{j}, \quad \mathbf{u} = -5\,\mathbf{i} + 3\,\mathbf{j}
$$

## a) Calcular la medida del ángulo que forman $$\mathbf{t}$$ y $$\mathbf{u}$$

La medida del ángulo $$\theta$$ entre dos vectores se obtiene mediante la siguiente fórmula:

$$
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{t} \cdot \mathbf{u}}{||\mathbf{t}|| \cdot ||\mathbf{u}||}
$$

**Paso 1: Calcular el producto punto $$\mathbf{t} \cdot \mathbf{u}$$**

$$
\mathbf{t} \cdot \mathbf{u} = (-6)(-5) + (-7)(3) = 30 - 21 = 9
$$

**Paso 2: Calcular las normas de los vectores**

$$
||\mathbf{t}|| = \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \approx 9.22
$$

$$
||\mathbf{u}|| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83
$$

**Paso 3: Sustituir en la fórmula del coseno del ángulo**

$$
\cos(\theta) = \frac{9}{9.22 \times 5.83} \approx \frac{9}{53.69} \approx 0.1676
$$

**Paso 4: Calcular el ángulo $$\theta$$**

$$
\theta = \arccos(0.1676) \approx 80.3^\circ
$$

Por lo tanto, el ángulo que forman los vectores $$\mathbf{t}$$ y $$\mathbf{u}$$ es aproximadamente **80.3 grados**.

## b) Determinar si $$\mathbf{t}$$ y $$\mathbf{u}$$ son paralelos, ortogonales, o ninguno de los dos

Para determinar la relación entre los vectores, consideremos lo siguiente:

1. **Vectores Paralelos:** Dos vectores son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro. Es decir, existen un escalar $$k$$ tal que $$\mathbf{t} = k\mathbf{u}$$.

- **Verificación:**
     $$
     \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} \neq \frac{-7}{3} = \frac{-7}{3}
     $$
     Como las proporciones no son iguales, los vectores **no son paralelos**.

2. **Vectores Ortogonales:** Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero.

- **Verificación:**
     $$
     \mathbf{t} \cdot \mathbf{u} = 9 \neq 0
     $$
     Como el producto punto no es cero, los vectores **no son ortogonales**.

3. **Conclusión:**
   
   Dado que los vectores $$\mathbf{t}$$ y $$\mathbf{u}$$ **no son paralelos ni ortogonales**, la respuesta es:

**No son ni paralelos ni ortogonales.**
a) El ángulo que forman los vectores $$\mathbf{t}$$ y $$\mathbf{u}$$ es aproximadamente **80.3 grados**. b) Los vectores $$\mathbf{t}$$ y $$\mathbf{u}$$ **no son ni paralelos ni ortogonales**.

Sea y sea .
Calcular la medida del ángulo que forman
.
(b)
(b) Determinar si son paralelos,
ortogonales, o ninguno de los dos.
paralelos
ortogonales
no son ni paralelos ni ortogonales

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