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Home Question Bank Other Archive 2024 December 29

Other Questions from Dec 29,2024

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Esercizio 13.21 Sia data l'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) tale che \[ F(x, y)=(x-2 y, 3 y, x+y) \] Trovare \( F^{-1}(0,1,-1) \). Trovare la matrice associata ad \( F \) rispetto alle basi canoniche di \( \mathbb{R}^{2} \) e di \( \mathbb{R}^{3} \). ii) Trovare la matrice associata ad \( F \) rispetto alle basi \( \mathcal{B}=\{(1,0),(-1,-1)\} \) di \( \mathbb{R}^{2} \) e \( \mathcal{B}^{\prime}=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)\} \) di \( \mathbb{R}^{3} \). (N) Stabilire se \( F \) è iniettiva, suriettiva, invertibile. Trovare una base dell'immagine e del nucleo di \( F \). SVOLGIMENTO Esercizio 13.20 Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche alle seguenti applicazioni lineari: (ii) \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad F(x, y)=(x+2 y, 2 x+y, x-y) \); SvolgIMENTO (ii) \( F: \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}_{\leqslant 1}[x], \quad F\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=(a-b)+(c+2 d) x \). Select the statement that indicates a false negative. a.) The store's alarm sounds off even though a break-in did not happen. b.) A customer gets strep throat from drinking milk that passed inspection for streptococcus. c.) A temperature strip indicates a change in temperature when one did not occur. d.) An innocent man is sent to jail. COOZÜMLÜ ÔRNEK SORULAR Örnek 7.1 S; grubu içinde \( x=(12345), y=(43)(25) \) permulasyonlan verilsin i) \( G=\langle x, y> \) nin grup olacağmı tablo yaparak gösteriniz, ii) \( G \) nin orderm bulunuz. iii) G nin farklı orderh tüm alt gruplarm belirleyip her bir farkh order için bir ômek veriniz. iv) (iii) șlkta bulduğunuz alt gruplardan, \( G \) nin normal alt gruplan var mider? E3̧er varsa farkh orderlar için birer ömek veriniz. v) Eger iv) șikta aşikar olmayan farklı orderlı normal alt gruplar bulmustunız bunlarla ilgili bölüm gruplan hangi gruba izomorf olur hesaplayınız. vi) \( Z(G) \) yi hesaplaynnz. vii) Bu grup bildiğimiz hangi gruptur. Esercizio 3. È data l'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \) tale che \[ F(p(x))=\left(\begin{array}{cc}p(1) & p(0) \\ p(0) & p(-1)\end{array}\right) \] (a) Senza effettuare calcoli, dire perché esiste almeno un vettore di \( \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) \) con controimmagine vuota sotto l'azione di \( F \). (b) Si calcoli la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base \( \mathcal{B}=\left\{x, x+1, x^{2}-1\right\} \) di \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) e alla Örnek \( 7.4 \alpha=\left(\begin{array}{llllllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 9 & 7 & 6 & 5 & 4 & 8 & 3 & 2 & 1 & 10\end{array}\right) \) ve \( \beta=\left(\begin{array}{cccccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\end{array}\right) \) i) \( a \) ve \( \beta \) yı devir olarak yazınız? ii) \( a \beta \) ve \( \beta \alpha \) yı hesaplayınız? iii) \( \alpha, \beta \) ve \( \alpha \beta \) nın orderlarını hesaplayınız? iv) \( \alpha \) ve \( \beta \) nın tek yada çift olduklarını bulunuz? 3 Consider \( U=\left\{x \mid x \leqslant 12, x \in \mathbb{Z}^{+}\right\} \), \[ A=\{2,7,9,10,11\} \text { and } B=\{1,2,9,11,12\} \text {. } \] a Show these sets on a Venn diagram. \( \begin{array}{llll}\text { b List the elements of: } & \text { I } A \cap B & \text { II } A \cup B & \text { III } B^{\prime} \\ \text { c Find: } 1 n(A) & \text { II } n\left(B^{\prime}\right) & \text { III } n(A \cap B) & \text { iv } n(A \cup B)\end{array} \) Esercizio 13.16 Costruire, se possibile, un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \) che abbia come nucleo il sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,1,0),(-1,1,1)) \). E unica tale applicazione? Svolgimento Deve essere \[ F(1,1,0)=F(-1,1,1)=(0,0,0,0) . \] Poiché manca un vettore, per completare ad una base dello spazio di partenza, le applicazioni lineari possibili sono infinite. Si badi a non far sì che anche il terzo vettore della base di partenza vada a finire nel vettore nullo, altrimenti si ottiene l'applicazione nulla che ha nucleo di dimensione tre. Lavorando un po' con l'occhio allenato si trova ad esempio \[ F(x, y, z)=(x-y+2 z, 0,0,0) . \] Uestion vo 3\( \} \) Examine whether the following set of vectors is a Basis and if so fint imensions of the Vector Space \( \mathrm{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\right\} \) of Vector Space of all \( 2 \times 2 \) diagonal matrices 16. Sea \( A \in \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) cuya matriz con respecto a la base canónica es \[ A=\left(\begin{array}{rrr}0 & x & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0\end{array}\right) \] con \( x \in \mathbf{R} \). a) Fncontrar \( x \) para que \( A \) sea diagonalizable.
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