P.A. de razão inteira? Por quê? 3. Após uma reforma, o dono de um teatro com palco italiano decidiu reorganizar os assentos, que eram dispostos em 23 fileiras com 10 poltronas cada uma, a fim de obter uma disposição radial, na qual o número de assentos em cada fileira cresce segundo uma progressão aritmética. Devido às limitações de espaço, a primeira e a última fileira do teatro deverão ter, respectivamente, 14 e 32 assentos. Quantas fileiras devem ser alocadas entre essas duas a fim de que a capacidade máxima do teatro seja mantida? 4. Um estacionamento cobra $$ \mathrm{R} \$ 12,00 $$ pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é $$ \mathrm{R} \$ 8,00 $$, e o da sétima é $$ \mathrm{R} \$ 1,00 $$.

Question

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Vamos resolver as duas questões apresentadas.

### Questão 3: Reorganização dos Assentos do Teatro

Temos um teatro que originalmente possui 23 fileiras com 10 poltronas cada, totalizando 230 assentos. Após a reforma, as fileiras devem ter um número de assentos que cresce em progressão aritmética (PA), com a primeira fileira tendo 14 assentos e a última fileira tendo 32 assentos.

1. **Identificação dos termos da PA**:
   - Primeiro termo ($$a_1$$) = 14 (número de assentos na primeira fileira)
   - Último termo ($$a_n$$) = 32 (número de assentos na última fileira)

2. **Fórmula do termo geral da PA**:
   $$
   a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
   $$
   onde $$d$$ é a razão da PA e $$n$$ é o número total de fileiras.

3. **Substituindo os valores**:
   $$
   32 = 14 + (n-1) \cdot d
   $$
   $$
   32 - 14 = (n-1) \cdot d
   $$
   $$
   18 = (n-1) \cdot d \quad \text{(1)}
   $$

4. **Soma dos termos da PA**:
   A soma dos termos de uma PA é dada por:
   $$
   S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
   $$
   Queremos que essa soma seja igual a 230 (a capacidade máxima do teatro):
   $$
   S_n = \frac{n}{2} \cdot (14 + 32) = \frac{n}{2} \cdot 46 = 23n
   $$
   Igualando a soma à capacidade do teatro:
   $$
   23n = 230
   $$
   $$
   n = 10
   $$

5. **Substituindo $$n$$ na equação (1)**:
   $$
   18 = (10-1) \cdot d
   $$
   $$
   18 = 9d
   $$
   $$
   d = 2
   $$

Portanto, a disposição radial terá 10 fileiras, com a razão da PA sendo 2. As fileiras terão 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 e 32 assentos.

### Questão 4: Preços do Estacionamento

O estacionamento cobra R$ 12,00 pela primeira hora, R$ 8,00 pela segunda hora e R$ 1,00 pela sétima hora. Precisamos encontrar o valor da terceira, quarta, quinta e sexta horas.

1. **Identificação dos termos da PA**:
   - Primeiro termo ($$a_1$$) = 12
   - Segundo termo ($$a_2$$) = 8
   - Sétimo termo ($$a_7$$) = 1

2. **Cálculo da razão $$d$$**:
   A razão da PA pode ser encontrada usando os termos conhecidos. Sabemos que:
   $$
   a_2 = a_1 + d \implies 8 = 12 + d \implies d = 8 - 12 = -4
   $$

3. **Verificando os termos**:
   - Terceiro termo ($$a_3$$):
     $$
     a_3 = a_2 + d = 8 - 4 = 4
     $$
   - Quarto termo ($$a_4$$):
     $$
     a_4 = a_3 + d = 4 - 4 = 0
     $$
   - Quinto termo ($$a_5$$):
     $$
     a_5 = a_4 + d = 0 - 4 = -4
     $$
   - Sexto termo ($$a_6$$):
     $$
     a_6 = a_5 + d = -4 - 4 = -8
     $$

4. **Conclusão**:
   O valor da terceira hora é R$ 4,00, mas a partir da quarta hora, o valor se torna negativo, o que não faz sentido no contexto. Portanto, o estacionamento deve ter um limite de cobrança, e a partir de um certo ponto, não deve cobrar mais.

Assim, os valores das horas são:
- 1ª
Para a questão 3, o teatro deve ter 10 fileiras com a razão da PA sendo 2. As fileiras terão 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 e 32 assentos. Para a questão 4, os valores das horas são: 1ª hora: R$ 12,00; 2ª hora: R$ 8,00; 3ª hora: R$ 4,00; 4ª hora: R$ 0,00; 5ª hora: R$ -4,00; 6ª hora: R$ -8,00.

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