10. а) Решите уравнение \( 2 \cos \left(x-\frac{11 \pi}{2}\right) \cdot \cos x=\sin x \). б) Найдите все корни этого уравнения, приналлежашие отрезку \( \left[3 \pi ; \frac{9 \pi}{2}\right] \).

**Задача 10.** **а) Решите уравнение** \[ 2 \cos \left(x - \frac{11 \pi}{2}\right) \cdot \cos x = \sin x. \] **Решение:** 1. Упрощаем выражение \(\cos \left(x - \frac{11 \pi}{2}\right)\): \[ \cos\left(x - \frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(x - 5\pi - \frac{\pi}{2}\right). \] Поскольку косинус имеет период \(2\pi\), можно записать: \[ \cos\left(x - \frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(x - \frac{3\pi}{2}\right). \] Далее: \[ \cos\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos x \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \sin x \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \cdot \cos x + (-1) \cdot \sin x = -\sin x. \] 2. Подставляем обратно в исходное уравнение: \[ 2 \cdot (-\sin x) \cdot \cos x = \sin x \quad \Rightarrow \quad -2 \sin x \cos x = \sin x. \] 3. Переносим все части уравнения в одну сторону: \[ -2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x (-2 \cos x - 1) = 0. \] 4. Получаем два возможных случая: - \(\sin x = 0\), - \(-2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}\). 5. Общие решения: - \(\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\). - \(\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3}\), где \(k \in \mathbb{Z}\). **Ответ на часть а):** \[ x = k\pi \quad \text{или} \quad x = 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}. \] --- **б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку** \(\left[3\pi, \frac{9\pi}{2}\right]\). **Решение:** 1. Рассмотрим решения из части а): - **Решения из \(\sin x = 0\):** \[ x = k\pi. \] Найдём \(k\), чтобы \(3\pi \leq k\pi \leq \frac{9\pi}{2}\): \[ 3 \leq k \leq 4.5 \quad \Rightarrow \quad k = 3, 4. \] То есть: \[ x = 3\pi, \quad 4\pi. \] - **Решения из \(\cos x = -\frac{1}{2}\):** \[ x = 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3}. \] Найдём \(k\), чтобы \(3\pi \leq 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3} \leq \frac{9\pi}{2}\): - При \(k = 2\): \[ x = 4\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \approx 3.333\pi \quad \text{(принадлежит отрезку)}. \] \[ x = 4\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} \approx 4.666\pi \quad \text{(не принадлежит, так как } \frac{14\pi}{3} > \frac{9\pi}{2}). \] - При \(k = 3\): \[ x = 6\pi \pm \frac{2\pi}{3} \quad \text{(вне заданного отрезка)}. \] Таким образом, единственное решение из этого случая: \[ x = \frac{10\pi}{3}. \] 2. Итого, все корни уравнения на отрезке \(\left[3\pi, \frac{9\pi}{2}\right]\): \[ x = 3\pi, \quad \frac{10\pi}{3}, \quad 4\pi. \] **Ответ на часть б):** \[ x = 3\pi, \quad \frac{10\pi}{3}, \quad 4\pi. \]