10. а) Решите уравнение $$ 2 \cos \left(x-\frac{11 \pi}{2}\right) \cdot \cos x=\sin x $$. б) Найдите все корни этого уравнения, приналлежашие отрезку $$ \left[3 \pi ; \frac{9 \pi}{2}\right] $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Задача 10.**

**а) Решите уравнение** 
$$ 2 \cos \left(x - \frac{11 \pi}{2}\right) \cdot \cos x = \sin x. $$

**Решение:**

1. Упрощаем выражение $$\cos \left(x - \frac{11 \pi}{2}\right)$$:
   $$
   \cos\left(x - \frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(x - 5\pi - \frac{\pi}{2}\right).
   $$
   Поскольку косинус имеет период $$2\pi$$, можно записать:
   $$
   \cos\left(x - \frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(x - \frac{3\pi}{2}\right).
   $$
   Далее:
   $$
   \cos\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos x \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \sin x \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \cdot \cos x + (-1) \cdot \sin x = -\sin x.
   $$

2. Подставляем обратно в исходное уравнение:
   $$
   2 \cdot (-\sin x) \cdot \cos x = \sin x \quad \Rightarrow \quad -2 \sin x \cos x = \sin x.
   $$
   
3. Переносим все части уравнения в одну сторону:
   $$
   -2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x (-2 \cos x - 1) = 0.
   $$
   
4. Получаем два возможных случая:
   - $$\sin x = 0$$,
   - $$-2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$$.

5. Общие решения:
   - $$\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.
   - $$\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3}$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

**Ответ на часть а):**
$$
x = k\pi \quad \text{или} \quad x = 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.
$$

---

**б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку** 
$$\left[3\pi, \frac{9\pi}{2}\right]$$.

**Решение:**

1. Рассмотрим решения из части а):

- **Решения из $$\sin x = 0$$:**
     $$
     x = k\pi.
     $$
     Найдём $$k$$, чтобы $$3\pi \leq k\pi \leq \frac{9\pi}{2}$$:
     $$
     3 \leq k \leq 4.5 \quad \Rightarrow \quad k = 3, 4.
     $$
     То есть:
     $$
     x = 3\pi, \quad 4\pi.
     $$

- **Решения из $$\cos x = -\frac{1}{2}$$:**
     $$
     x = 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3}.
     $$
     Найдём $$k$$, чтобы $$3\pi \leq 2\pi k \pm \frac{2\pi}{3} \leq \frac{9\pi}{2}$$:
     
     - При $$k = 2$$:
       $$
       x = 4\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \approx 3.333\pi \quad \text{(принадлежит отрезку)}.
       $$
       $$
       x = 4\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} \approx 4.666\pi \quad \text{(не принадлежит, так как } \frac{14\pi}{3} > \frac{9\pi}{2}).
       $$
     
     - При $$k = 3$$:
       $$
       x = 6\pi \pm \frac{2\pi}{3} \quad \text{(вне заданного отрезка)}.
       $$
     
     Таким образом, единственное решение из этого случая:
     $$
     x = \frac{10\pi}{3}.
     $$

2. Итого, все корни уравнения на отрезке $$\left[3\pi, \frac{9\pi}{2}\right]$$:
$$
x = 3\pi, \quad \frac{10\pi}{3}, \quad 4\pi.
$$

**Ответ на часть б):**
$$
x = 3\pi, \quad \frac{10\pi}{3}, \quad 4\pi.
$$
**Ответ:** $$ x = 3\pi, \quad \frac{10\pi}{3}, \quad 4\pi. $$

10. а) Решите уравнение \( 2 \cos \left(x-\frac{11 \pi}{2}\right) \cdot \cos x=\sin x \). б) Найдите все корни этого уравнения, приналлежашие отрезку \( \left[3 \pi ; \frac{9 \pi}{2}\right] \).

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Trigonometry Questions