$$ \begin{array}{l} ext { wheno s; CSbo - o }\ \begin{array}{ll} \lim _{x ightarrow r} \frac{x-r}{\sqrt{x}-r} & \lim _{x ightarrow 1} \frac{r x^{r}-r x-1}{x^{r}-1} \ \lim _{x ightarrow} \frac{x^{r}+x^{r}-x-1}{x^{r}+r^{r} x^{r}-\lambda-r} & \lim _{x} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}{x} \ \lim \frac{x^{r}-1}{|x-1|}=r & \lim _{x ightarrow r^{-}}\left[\frac{x^{r}-r x+r}{|x-r|}+r ight]=1 \end{array} \end{array} $$

Question

$$ \begin{array}{l} 	ext { wheno s; CSbo - o }\ \begin{array}{ll} \lim _{x ightarrow r} \frac{x-r}{\sqrt{x}-r} & \lim _{x ightarrow 1} \frac{r x^{r}-r x-1}{x^{r}-1} \ \lim _{x ightarrow} \frac{x^{r}+x^{r}-x-1}{x^{r}+r^{r} x^{r}-\lambda-r} & \lim _{x} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}{x} \ \lim \frac{x^{r}-1}{|x-1|}=r & \lim _{x ightarrow r^{-}}\left[\frac{x^{r}-r x+r}{|x-r|}+right]=1 \end{array} \end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

البته! در ادامه به محاسبه هر یک از حدهای داده شده می‌پردازیم:

---

### ۱. $$\lim _{x \rightarrow r} \frac{x - r}{\sqrt{x} - r}$$

برای محاسبه این حد، زمانی که $$ x $$ به $$ r $$ نزدیک می‌شود، صورت و مخرج به صفر میل می‌کنند. از این رو می‌توان از قاعده لا‌هُسپیتال استفاده کرد:

$$
\lim _{x \rightarrow r} \frac{x - r}{\sqrt{x} - r} = \lim _{x \rightarrow r} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = 2\sqrt{r}
$$

---

### ۲. $$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{r x^{r} - r x - 1}{x^{r} - 1}$$

در این حالت نیز هنگام $$ x $$ به ۱ نزدیک می‌شود، صورت و مخرج به صفر میل می‌کنند. از قاعده لا‌هُسپیتال استفاده می‌کنیم:

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{r x^{r} - r x - 1}{x^{r} - 1} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{r^{2} x^{r-1} - r}{r x^{r-1}} = \frac{r^{2} - r}{r} = r - 1
$$

---

### ۳. $$\lim _{x \rightarrow ?} \frac{2x^{r} - x - 1}{x^{r} + r^{r} x^{r} - \lambda - r}$$

متأسفانه در بیان حد سوم، مقدار همگرایی $$ x $$ مشخص نشده است. فرض می‌کنیم $$ x $$ به ۱ میل می‌کند:

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x^{r} - x - 1}{x^{r} + r^{r} x^{r} - \lambda - r} = \frac{2 \cdot 1^{r} - 1 - 1}{1^{r} + r^{r} \cdot 1^{r} - \lambda - r} = \frac{0}{1 + r^{r} - \lambda - r} = 0
$$

در صورتی که مقدار $$ x $$ به نقطه دیگری میل می‌کند، باید آن را مشخص کنید تا حد به درستی محاسبه شود.

---

### ۴. $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}{x}$$

در این حد، با تقریب سری تیلور می‌توانیم ساده‌سازی کنیم:

$$
\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{x}{2}, \quad \sqrt{x + 1} \approx 1 + \frac{x}{2}
$$

بنابراین:

$$
\frac{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}{x} \approx \frac{\left(1 - \frac{x}{2}\right) - \left(1 + \frac{x}{2}\right)}{x} = \frac{-x}{x} = -1
$$

پس:

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}{x} = -1
$$

---

### ۵. $$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{r} - 1}{|x - 1|} = r$$

برای محاسبه این حد، باید مورد نزدیک به ۱ از سمت راست و چپ را بررسی کنیم:

- **سمت راست ($$ x \rightarrow 1^+ $$)**:
  
  $$
  \frac{x^{r} - 1}{x - 1} \approx r \quad (\text{با استفاده از توسعه تیلور})
  $$

- **سمت چپ ($$ x \rightarrow 1^- $$)**:
  
  $$
  \frac{x^{r} - 1}{-(1 - x)} \approx -r
  $$

بنابراین حد کلی وجود ندارد مگر که از جهت خاصی به آن نزدیک شویم. اگر فقط از سمت راست بررسی شود، حد برابر با $$ r $$ و از سمت چپ برابر با $$ -r $$ است.

---

### ۶. $$\lim _{x \rightarrow r^{-}} \left[ \frac{x^{r} - r x + r}{|x - r|} + r \right] = 1$$

برای محاسبه این حد، فرض می‌کنیم $$ x $$ از سمت چپ به $$ r $$ نزدیک می‌شود ($$ x < r $$):

$$
|x - r| = r - x
$$

حد عبارت به شکل زیر می‌شود:

$$
\lim _{x \rightarrow r^{-}} \left[ \frac{x^{r} - r x + r}{r - x} + r \right]
$$

فرض کنید $$ x = r - h $$ و $$ h \rightarrow 0^+ $$:

با استفاده از توسعه تیلور برای $$ (r - h)^{r} $$:

$$
(r - h)^{r} \approx r^{r} - r^{r-1} h
$$

بنابراین:

$$
\frac{(r^{r} - r^{r-1} h) - r (r - h) + r}{h} + r = \frac{r^{r} - r^{r} + r h + r - r}{h} + r = \frac{r h}{h} + r = r + r = 2r
$$

اگر حد گفته شده برابر با ۱ باشد، باید:

$$
2r = 1 \implies r = \frac{1}{2}
$$

بنابراین این حد تنها زمانی برابر با ۱ است که $$ r = \frac{1}{2} $$.

---

اگر نیاز به توضیحات بیشتری داشته باشید یا حدهای دیگری را بررسی کنید، لطفاً اطلاع دهید!
$$ \begin{array}{l} 1. \lim _{x \rightarrow r} \frac{x - r}{\sqrt{x} - r} = 2\sqrt{r} \ 2. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{r x^{r} - r x - 1}{x^{r} - 1} = r - 1 \ 3. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x^{r} - x - 1}{x^{r} + r^{r} x^{r} - \lambda - r} = 0 \ 4. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}{x} = -1 \ 5. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{r} - 1}{|x - 1|} = r \quad (\text{به سمت راست}) \ 6. \lim _{x \rightarrow r^{-}} \left[ \frac{x^{r} - r x + r}{|x - r|} + r \right] = 1 \quad (\text{در صورتی که } r = \frac{1}{2}) \end{array} $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Calculus Questions