Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen \( \mathrm{E}_{1}: 14 x_{1}-18 x_{2}-2 x_{3}=252 \) und \( \mathrm{E}_{2}: \) \( -7 x_{1}+9 x_{2}+x_{3}=-882 \). Die Ebene F ist parallel \( \mathrm{zu}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . \( \mathrm{F}:+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{\mathrm{v}} \)

Um die Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \) zu bestimmen, müssen wir zunächst die Normalenvektoren der Ebenen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) betrachten, da sie parallel sind. Der Normalenvektor von \( \mathrm{E}_{1} \) ist \( \mathbf{n}_{1} = (14, -18, -2) \). Da \( \mathrm{F} \) parallel zu \( \mathrm{E}_{1} \) ist, wird sie denselben Normalenvektor haben. Um den Abstand zwischen den parallelen Ebenen zu berechnen, können wir die allgemeine Form der Ebenen verwenden und den Abstand zwischen ihnen bestimmen. Die Ebene \( \mathrm{F} \) hat dieselbe Form wie die anderen Ebenen, also \( \mathrm{F}: 14 x_{1} - 18 x_{2} - 2 x_{3} = d \). Der Wert für \( d \) wird bestimmt, indem wir den Abstand der Ebenen mit der Formel für den Abstand zwischen parallelen Ebenen \( |d_{2} - d_{1}| / \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) berechnen. Gegeben ist \( d_{1} = 252 \) und \( d_{2} = -882 \). Berechnen wir den Abstand und setzen \( d_{F} \) so, dass der gleiche Abstand zu beiden Ebenen besteht. Durch Setzen des Mittelpunkts zwischen den beiden \( d_{F} \) Werten finden wir schließlich die Gleichung für \( \mathrm{F} \). Die Ebene \( \mathrm{F} \) hat dann die Form: \[ \mathrm{F}: 14 x_{1} - 18 x_{2} - 2 x_{3} = -315 \]