Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $$ \mathrm{E}_{1}: 14 x_{1}-18 x_{2}-2 x_{3}=252 $$ und $$ \mathrm{E}_{2}: $$ $$ -7 x_{1}+9 x_{2}+x_{3}=-882 $$. Die Ebene F ist parallel $$ \mathrm{zu}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . $$ \mathrm{F}:+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{\mathrm{v}} $$

Question

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Um eine Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$ zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen $$ \mathrm{E}_1 $$ und $$ \mathrm{E}_2 $$ ist und von beiden den gleichen Abstand hat, gehen wir wie folgt vor:

1. **Normalenvektoren überprüfen:**
   - **E1:** $$ 14x_1 - 18x_2 - 2x_3 = 252 $$  
     Normalenvektor $$ \mathbf{n}_1 = (14, -18, -2) $$
   - **E2:** $$ -7x_1 + 9x_2 + x_3 = -882 $$  
     Normalenvektor $$ \mathbf{n}_2 = (-7, 9, 1) $$

Da $$ \mathbf{n}_1 = -2 \cdot \mathbf{n}_2 $$, sind die Ebenen parallel.

2. **Harmonisierung der Ebenengleichungen:**
   Multiplizieren wir die Gleichung von $$ \mathrm{E}_2 $$ mit $$-2$$, erhalten wir:
   $$
   14x_1 - 18x_2 - 2x_3 = 1764
   $$
   Jetzt haben beide Ebenen $$ \mathrm{E}_1 $$ und $$ \mathrm{E}_2' $$ dieselbe Form des Normalenvektors.

3. **Mittlere Ebene bestimmen:**
   Da $$ \mathrm{F} $$ den gleichen Abstand zu beiden Ebenen haben soll, liegt sie genau in der Mitte zwischen $$ \mathrm{E}_1 $$ und $$ \mathrm{E}_2' $$. Daher nehmen wir den Mittelwert der rechten Seiten:
   $$
   \frac{252 + 1764}{2} = 1008
   $$
   Somit lautet die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:
   $$
   14x_1 - 18x_2 - 2x_3 = 1008
   $$

**Zusammenfassung:**

Eine gültige Gleichung der gesuchten Ebene $$ \mathrm{F} $$ ist:
$$
\boxed{14\,x_{1}\;-\;18\,x_{2}\;-\;2\,x_{3}\;=\;1008}
$$
Die Ebene $$ \mathrm{F} $$ hat die Gleichung: $$ 14x_1 - 18x_2 - 2x_3 = 1008 $$

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und
. Die Ebene F ist parallel und und hat von beiden Ebenen den
gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .

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Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen und . Die Ebene F ist parallel und und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F .