Les points $$ I $$ et $$ J $$ vérifient : $$ \overrightarrow{E I}=\frac{1}{3} \overrightarrow{E F} $$ et $$ \overrightarrow{G J}=\frac{2}{3} \overrightarrow{G C} $$. On veut montrer que les vecteurs $$ \overrightarrow{F G}, \overrightarrow{I J} $$ et $$ \overrightarrow{E C} $$ sont coplanaires. 1. Méthode vectorielle Exprimer le vecteur $$ \overrightarrow{I J} $$ en fonction des vecteurs $$ \overrightarrow{E C} $$ et $$ \overrightarrow{F G} $$. Conclure. 2. Méthode analytique Le plan est rapporté au repère ( $$ G ; \overrightarrow{G C}, \overrightarrow{G H}, \overrightarrow{G F}) $$. a. Donner, sans justifier, les coordonnées des points $$ G, C, H, F, E, I $$ et $$ J $$. b. Déterminer les coordonnées des vecteurs $$ \overrightarrow{I J}, \overrightarrow{E C} $$ et $$ \overrightarrow{F G} $$. c. Montrer que ces vecteurs sontroptantes.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour montrer que les vecteurs $$ \overrightarrow{F G}, \overrightarrow{I J} $$ et $$ \overrightarrow{E C} $$ sont coplanaires, nous allons procéder par les deux méthodes demandées.

### 1. Méthode vectorielle

Nous savons que :

$$
\overrightarrow{E I} = \frac{1}{3} \overrightarrow{E F}
$$

Cela signifie que le point $$ I $$ est situé sur le segment $$ EF $$ et divise ce segment en un rapport de $$ 1:2 $$.

De même, nous avons :

$$
\overrightarrow{G J} = \frac{2}{3} \overrightarrow{G C}
$$

Cela signifie que le point $$ J $$ est situé sur le segment $$ GC $$ et divise ce segment en un rapport de $$ 2:1 $$.

Pour exprimer $$ \overrightarrow{I J} $$, nous pouvons utiliser les relations ci-dessus. Nous avons :

$$
\overrightarrow{I J} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I} = \overrightarrow{G} + \overrightarrow{G J} - \left( \overrightarrow{E} + \overrightarrow{E I} \right)
$$

En substituant les expressions de $$ \overrightarrow{G J} $$ et $$ \overrightarrow{E I} $$, nous obtenons :

$$
\overrightarrow{I J} = \overrightarrow{G} + \frac{2}{3} \overrightarrow{G C} - \left( \overrightarrow{E} + \frac{1}{3} \overrightarrow{E F} \right)
$$

En réorganisant, nous pouvons exprimer $$ \overrightarrow{I J} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{E C} $$ et $$ \overrightarrow{F G} $$.

Nous savons que :

$$
\overrightarrow{E C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{E}
$$
$$
\overrightarrow{F G} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{F}
$$

En utilisant ces relations, nous pouvons conclure que $$ \overrightarrow{I J} $$ peut être exprimé comme une combinaison linéaire de $$ \overrightarrow{E C} $$ et $$ \overrightarrow{F G} $$. Par conséquent, les vecteurs $$ \overrightarrow{F G}, \overrightarrow{I J} $$ et $$ \overrightarrow{E C} $$ sont coplanaires.

### 2. Méthode analytique

#### a. Coordonnées des points

Supposons que les coordonnées des points soient données par :

- $$ G(0, 0, 0) $$
- $$ C(1, 0, 0) $$
- $$ H(0, 1, 0) $$
- $$ F(0, 0, 1) $$
- $$ E(1, 1, 1) $$

Pour déterminer les coordonnées de $$ I $$ et $$ J $$ :

- Pour $$ I $$, étant donné que $$ \overrightarrow{E I} = \frac{1}{3} \overrightarrow{E F} $$, nous avons :

$$
I = E + \frac{1}{3}(F - E) = (1, 1, 1) + \frac{1}{3}((0, 0, 1) - (1, 1, 1)) = (1, 1, 1) + \frac{1}{3}(-1, -1, 0) = \left(1 - \frac{1}{3}, 1 - \frac{1}{3}, 1\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 1\right)
$$

- Pour $$ J $$, étant donné que $$ \overrightarrow{G J} = \frac{2}{3} \overrightarrow{G C} $$, nous avons :

$$
J = G + \frac{2}{3}(C - G) = (0, 0, 0) + \frac{2}{3}((1, 0, 0) - (0, 0, 0)) = \left(\frac{2}{3}, 0, 0\right)
$$

#### b. Coordonnées des vecteurs

Calculons maintenant les vecteurs :

- $$ \overrightarrow{I J} = J - I = \left(\frac{2}{3}, 0, 0\right) - \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 1\right) = \left(0, -\frac{2}{3}, -1\right) $$

- $$ \overrightarrow{E C} = C - E = (1, 0, 0) - (1, 1, 1) = (0, -1, -1) $$

- $$ \overrightarrow{F G} = G - F = (0, 0, 0) - (0, 0, 1) = (0, 0, -1) $$

#### c. Montrer que ces vecteurs sont coplanaires

Pour montrer que les vecteurs $$ \overrightarrow{I J}, \overrightarrow{E C} $$ et $$ \overrightarrow{F G} $$ sont coplanaires, nous pouvons vérifier si le déterminant formé par ces vecteurs est nul :

$$
\begin{vmatrix}
0 & -\frac{2}{3} & -1 \
0 & -1 & -1 \
0 & 0 & -1
\end{vmatrix}
$$

Le déterminant est nul car la première colonne est nulle. Par conséquent, les vecteurs $$ \overrightarrow{I J}, \overrightarrow{E C} $$ et $$ \overrightarrow{F G} $$ sont coplanaires.

Ainsi, nous avons montré par les deux méthodes que les vecteurs $$ \overrightarrow{F G}, \overrightarrow{I J} $$ et $$ \overrightarrow{E C} $$ sont coplanaires.
Pour montrer que les vecteurs $$ \overrightarrow{F G}, \overrightarrow{I J} $$ et $$ \overrightarrow{E C} $$ sont coplanaires, nous avons utilisé les deux méthodes demandées : la méthode vectorielle et la méthode analytique. Dans la méthode vectorielle, nous avons exprimé $$ \overrightarrow{I J} $$ en fonction de $$ \overrightarrow{E C} $$ et $$ \overrightarrow{F G} $$ et montré que $$ \overrightarrow{I J} $$ peut être écrite comme une combinaison linéaire de ces deux vecteurs. Dans la méthode analytique, nous avons déterminé les coordonnées des points et des vecteurs et vérifié que le déterminant formé par ces vecteurs est nul, ce qui signifie qu'ils sont coplanaires.

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