1. Розв'яжіть нерівність: $$ \begin{array}{ll} ext { (6) балів) } \ x^{2}-9 x+20

Question

1. Розв'яжіть нерівність: $$ \begin{array}{ll}	ext { (6) балів) } \ x^{2}-9 x+20<0 ; & 	ext { 2) }-2 x^{2}+x+6 \leq 0 ; \ 	ext { 3) }-9 x^{2}+12 x-4 \geq 0 ; & 	ext { 4) } 2 x(1-2,5 x)<1-4 x \ 	ext { 2. Знайдіть найменший і найбільший цілий розв'язок нерівност } \ 4 x^{2}-14

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим заданные задачи по порядку. --- ### 1. **Розв'язати нерівності:** #### 1) $$ x^{2} - 9x + 20 < 0 $$ **Розв'язок:** Розкладемо квадратний тричлен: $$ x^{2} - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) $$ Нерівність: $$ (x - 4)(x - 5) < 0 $$ Квадратна функція відкривається вгору, тому вона від'ємна між коренями: $$ 4 < x < 5 $$ **Розв'язок:** $$ x \in (4; 5) $$ --- #### 2) $$ -2x^{2} + x + 6 \leq 0 $$ **Розв'язок:** Помножимо нерівність на $$-1$$ (змінюємо знак нерівності): $$ 2x^{2} - x - 6 \geq 0 $$ Розкладемо квадратний тричлен: $$ 2x^{2} - x - 6 = (2x + 3)(x - 2) $$ Нерівність: $$ (2x + 3)(x - 2) \geq 0 $$ Критичні точки: $$ x = -\frac{3}{2} $$ та $$ x = 2 $$ Розглянемо знаки на інтервалах: - $$ x < -\frac{3}{2} $$: обидва множники від'ємні, добуток додатній. - $$ -\frac{3}{2} < x < 2 $$: $$ 2x + 3 > 0 $$, $$ x - 2 < 0 $$, добуток від'ємний. - $$ x > 2 $$: обидва множники додатні, добуток додатній. **Розв'язок:** $$ x \leq -\frac{3}{2} $$ або $$ x \geq 2 $$ --- #### 3) $$ -9x^{2} + 12x - 4 \geq 0 $$ **Розв'язок:** Помножимо нерівність на $$-1$$ (змінюємо знак нерівності): $$ 9x^{2} - 12x + 4 \leq 0 $$ Знайдемо дискримінант: $$ D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0 $$ Отже, наведено квадратне рівняння має один корінь (повний квадрат): $$ x = \frac{12}{2 \cdot 9} = \frac{2}{3} $$ Квадратна функція дорівнює нулю лише при $$ x = \frac{2}{3} $$. **Розв'язок:** $$ x = \frac{2}{3} $$ --- #### 4) $$ 2x(1 - 2,5x) < 1 - 4x $$ **Розв'язок:** Спершу розкриємо дужки: $$ 2x - 5x^{2} < 1 - 4x $$ Перенесемо всі члени вліво: $$ -5x^{2} + 6x - 1 < 0 $$ Помножимо на $$-1$$ (змінюємо знак нерівності): $$ 5x^{2} - 6x + 1 > 0 $$ Розкладемо квадратний тричлен: $$ 5x^{2} - 6x + 1 = (5x - 1)(x - 1) $$ Нерівність: $$ (5x - 1)(x - 1) > 0 $$ Критичні точки: $$ x = \frac{1}{5} $$ та $$ x = 1 $$ Розглянемо знаки на інтервалах: - $$ x < \frac{1}{5} $$: обидва множники від'ємні, добуток додатній. - $$ \frac{1}{5} < x < 1 $$: $$ 5x - 1 > 0 $$, $$ x - 1 < 0 $$, добуток від'ємний. - $$ x > 1 $$: обидва множники додатні, добуток додатній. **Розв'язок:** $$ x < \frac{1}{5} $$ або $$ x > 1 $$ --- ### 2. **Знайти найменший і найбільший цілий розв'язок нерівності:** $$ 4x^{2} - 14 < x(x - 1) $$ **Розв'язок:** Перенесемо всі члени вліво: $$ 4x^{2} - 14 - x^{2} + x < 0 $$ $$ 3x^{2} + x - 14 < 0 $$ Знайдемо корені квадратного рівняння $$ 3x^{2} + x - 14 = 0 $$: $$ D = 1 + 168 = 169 $$ $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{6} = \frac{-1 \pm 13}{6} $$ Отже, корені: $$ x = 2 \quad \text{і} \quad x = -\frac{7}{3} $$ Квадратна функція від'ємна між коренями: $$ -\frac{7}{3} < x < 2 $$ Цілі числа в цьому інтервалі: $$ x = -2, -1, 0, 1 $$ **Найменший цілий розв'язок:** $$ x = -2 $$ **Найбільший цілий розв'язок:** $$ x = 1 $$ --- ### 3. **Знайти область визначення функції:** $$ y = (x + 1) \sqrt{3 - 2x - 5x^{2}} $$ **Розв'язок:** Підкореневий вираз має бути невід'ємним: $$ 3 - 2x - 5x^{2} \geq 0 $$ Перепишемо нерівність: $$ -5x^{2} - 2x + 3 \geq 0 $$ Помножимо на $$-1$$ (змінюємо знак нерівності): $$ 5x^{2} + 2x - 3 \leq 0 $$ Знайдемо корені квадратного рівняння $$ 5x^{2} + 2x - 3 = 0 $$: $$ D = 4 + 60 = 64 $$ $$ x = \frac{-2 \pm 8}{10} $$ Отже, корені: $$ x = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \quad \text{і} \quad x = -1 $$ Квадратна функція менша або дорівнює нулю між коренями: $$ -1 \leq x \leq \frac{3}{5} $$ **Область визначення:** $$ x \in [-1; \frac{3}{5}] $$ --- ### 4. **Знайти значення параметра $$ a $$, при яких рівняння:** $$ (a + 2)x^{2} - 2a x + 1 = 0 $$ **немає коренів.** **Розв'язок:** Для відсутності дійсних коренів, дискримінант повинен бути меншим за нуль: $$ D < 0 $$ Вирахуємо дискримінант: $$ D = (-2a)^{2} - 4(a + 2)(1) = 4a^{2} - 4a - 8 $$ Нерівність: $$ 4a^{2} - 4a - 8 < 0 $$ Спростимо: $$ a^{2} - a - 2 < 0 $$ Знайдемо корені: $$ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} $$ Отже, корені: $$ a = 2 \quad \text{і} \quad a = -1 $$ Квадратна функція від'ємна між коренями: $$ -1 < a < 2 $$ **Умовою також є, що коефіцієнт при $$ x^{2} $$ не дорівнює нулю:** $$ a + 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2 $$ Однак $$ -2 $$ знаходиться поза проміжком $$ (-1; 2) $$, отже додаткової перевірки не потребується. **Відповідь:** Рівняння не має коренів при $$ a \in (-1; 2) $$ --- 1. **Розв'язання нерівностей:** - $$ x^{2} - 9x + 20 < 0 $$: $$ 4 < x < 5 $$ - $$ -2x^{2} + x + 6 \leq 0 $$: $$ x \leq -\frac{3}{2} $$ або $$ x \geq 2 $$ - $$ -9x^{2} + 12x - 4 \geq 0 $$: $$ x = \frac{2}{3} $$ - $$ 2x(1 - 2,5x) < 1 - 4x $$: $$ x < \frac{1}{5} $$ або $$ x > 1 $$ 2. **Найменший і найбільший цілий розв'язок нерівності $$ 4x^{2} - 14 < x(x - 1) $$:** - **Найменший:** $$ x = -2 $$ - **Найбільший:** $$ x = 1 $$ 3. **Область визначення функції $$ y = (x + 1) \sqrt{3 - 2x - 5x^{2}} $$:** - $$ x \in [-1; \frac{3}{5}] $$ 4. **Значення параметра $$ a $$, при яких рівняння $$ (a + 2)x^{2} - 2a x + 1 = 0 $$ немає коренів:** - $$ a \in (-1; 2) $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Algebra Questions