29. Au-dessus du cône $$ z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $$ et à l'intérieur de la sphère $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $$

Question

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Soit la région définie à l’intérieur de la sphère
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
$$
et au-dessus du cône
$$
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
$$

Nous allons exprimer cette région en coordonnées sphériques en posant :
$$
x=\rho \sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho \sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho \cos\phi,
$$
avec $$\rho\ge0$$, $$\theta\in[0,2\pi)$$ et $$\phi\in[0,\pi]$$.

1. **La sphère :**  
   L’équation de la sphère devient
   $$
   \rho^2 = 1,
   $$
   donc les valeurs de $$\rho$$ vérifient
   $$
   0\le \rho \le 1.
   $$

2. **Le cône :**  
   L’équation du cône s’écrit en coordonnées sphériques :
   $$
   \rho\cos\phi=\sqrt{\rho^2\sin^{2}\phi}\quad \Longrightarrow \quad \rho\cos\phi=\rho\sin\phi.
   $$
   Pour $$\rho\neq 0$$, on obtient
   $$
   \cos\phi=\sin\phi \quad \Longrightarrow \quad \phi=\frac{\pi}{4}.
   $$
   Être « au-dessus » du cône signifie que
   $$
   z\ge\sqrt{x^2+y^2}\quad\Longleftrightarrow\quad \rho\cos\phi\ge\rho\sin\phi,
   $$
   ce qui se traduit par
   $$
   \cos\phi\ge\sin\phi \quad \Longrightarrow \quad \phi\le\frac{\pi}{4}.
   $$

3. **Les limites d’intégration :**  
   En coordonnées sphériques, la région se décrit donc par :
   - $$\rho\in[0,1]$$,
   - $$\theta\in[0,2\pi]$$,
   - $$\phi\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$$.

4. **Intégrale de volume :**  
   Le volume $$V$$ de la région s’exprime par l’intégrale
   $$
   V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\phi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{1}\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.
   $$

- L’intégrale par rapport à $$\rho$$ :
     $$
     \int_{0}^{1}\rho^{2}\,d\rho =\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
     $$
     
   - L’intégrale par rapport à $$\phi$$ :
     $$
     \int_{0}^{\pi/4}\sin\phi\,d\phi =\left[-\cos\phi\right]_{0}^{\pi/4} = -\cos\frac{\pi}{4}+\cos0 =1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
     $$
     
   - L’intégrale par rapport à $$\theta$$ :
     $$
     \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
     $$

Ainsi, le volume est donné par :
   $$
   V=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
   $$

On peut aussi écrire ce résultat sous la forme :
   $$
   V=\frac{\pi(2-\sqrt{2})}{3}.
   $$

La région à l’intérieur de la sphère et au-dessus du cône est donc décrite par :
- $$\rho\in[0,1]$$,
- $$\theta\in[0,2\pi]$$,
- $$\phi\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$$,

et son volume est
$$
V=\frac{\pi(2-\sqrt{2})}{3}.
$$
La région est définie par $$ \rho $$ de 0 à 1, $$ \theta $$ de 0 à $$ 2\pi $$, et $$ \phi $$ de 0 à $$ \frac{\pi}{4} $$. Son volume est $$ \frac{\pi(2-\sqrt{2})}{3} $$.

Au-dessus du cône et à l’intérieur de la sphère

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