Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}6 \\ 1 \\ -6\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ -5\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}: \) \( x_{1}-7 x_{2}+7 x_{3}=-7 \).

Um den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) zu berechnen, setzen wir den Ausdruck für die Gerade in die Ebenengleichung ein. Die Gerade ist gegeben durch: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \] Das bedeutet, wir können die Koordinaten der Geraden ausschreiben als: \[ x_1 = 6 - t, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -6 - 5t \] Setzen wir diese Ausdrücke in die Ebenengleichung \( x_{1} - 7x_{2} + 7x_{3} = -7 \) ein: \[ (6 - t) - 7(1) + 7(-6 - 5t) = -7 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 6 - t - 7 + 7(-6) - 35t = -7 \] \[ 6 - 7 - 42 - 36t = -7 \] \[ -43 - 36t = -7 \] Nun addieren wir 43 zu beiden Seiten: \[ -36t = 36 \] Teilen wir durch -36: \[ t = -1 \] Mit \( t = -1 \) berechnen wir nun den Durchstoßpunkt. Setzen wir \( t \) zurück in die Gleichung der Geraden ein: \[ x_1 = 6 - (-1) = 7, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -6 - 5(-1) = -1 \] Somit ist der Durchstoßpunkt: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] Der Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) ist \( (7, 1, -1) \).