Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}6 \ 1 \ -6\end{array} ight)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \ 0 \ -5\end{array} ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}: $$ $$ x_{1}-7 x_{2}+7 x_{3}=-7 $$.

Question

Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}6 \ 1 \ -6\end{array}ight)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \ 0 \ -5\end{array}ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}: $$ $$ x_{1}-7 x_{2}+7 x_{3}=-7 $$.

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Um den Durchstoßpunkt der Geraden $$ \mathrm{g} $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E} $$ zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

**1. Parameterdarstellung der Geraden:**
$$
\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \ 1 \ -6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ -5 \end{pmatrix}
$$
Das ergibt die Komponenten:
$$
x_1 = 6 - t \
x_2 = 1 \
x_3 = -6 - 5t
$$

**2. Ebenengleichung:**
$$
x_1 - 7x_2 + 7x_3 = -7
$$

**3. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:**
$$
(6 - t) - 7(1) + 7(-6 - 5t) = -7
$$

**4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen:**
$$
6 - t - 7 - 42 - 35t = -7 \
-43 - 36t = -7
$$

**5. Lösung nach $$ t $$:**
$$
-36t = 36 \
t = -1
$$

**6. Einsetzen von $$ t = -1 $$ in die Geradengleichung:**
$$
x_1 = 6 - (-1) = 7 \
x_2 = 1 \
x_3 = -6 - 5(-1) = -6 + 5 = -1
$$

**Durchstoßpunkt:**
$$
\vec{P} = \begin{pmatrix} 7 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}
$$

**Antwort:**
Der Durchstoßpunkt der Geraden $$ \mathrm{g} $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E} $$ ist der Punkt $$ \vec{P} = \begin{pmatrix} 7 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} $$.
Der Durchstoßpunkt der Geraden $$ \mathrm{g} $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E} $$ ist der Punkt $$ \vec{P} = \begin{pmatrix} 7 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} $$.

Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Ebene
.

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Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Ebene .