4. Für bestimmte Untersuchungen verwendet man in der Medizin ein radioahtives lod lsotng das schnell zerfällt. Von 1 mg ist nach 1 Stunde jeweils nur noch \( 0,75 \mathrm{mg} \) im menschichen Körper vorhanden. a) Nach wie viel Stunden ist von 1 mg zum ersten Mal weniger als \( 0,5 \mathrm{mg} \) vorhanden? b) Wie groß ist der Zerfallsfaktor zur Zeitspanne (1) 1 Stunde; (2) 2 Stunden; (3) 3 Stunden; (4) 5 Stunden?

Um die Fragen zu beantworten, müssen wir die Zerfallsgleichung für radioaktive Substanzen verwenden. Der Zerfall kann durch die Formel beschrieben werden: \[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \] wobei: - \( N(t) \) die verbleibende Menge nach der Zeit \( t \) ist, - \( N_0 \) die ursprüngliche Menge ist, - \( \lambda \) die Zerfallskonstante ist, - \( t \) die Zeit ist. Wir wissen, dass nach 1 Stunde von 1 mg nur noch 0,75 mg vorhanden ist. Das gibt uns die Möglichkeit, die Zerfallskonstante \( \lambda \) zu berechnen. ### Schritt 1: Berechnung der Zerfallskonstante \( \lambda \) Setzen wir die bekannten Werte in die Gleichung ein: \[ 0,75 = 1 \cdot e^{-\lambda \cdot 1} \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0,75 = e^{-\lambda} \] Um \( \lambda \) zu finden, nehmen wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten: \[ \ln(0,75) = -\lambda \] Daraus folgt: \[ \lambda = -\ln(0,75) \] ### Schritt 2: Berechnung der Zeit, bis weniger als 0,5 mg vorhanden ist Wir setzen \( N(t) = 0,5 \) mg in die Zerfallsgleichung ein: \[ 0,5 = 1 \cdot e^{-\lambda t} \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0,5 = e^{-\lambda t} \] Nehmen wir wieder den natürlichen Logarithmus: \[ \ln(0,5) = -\lambda t \] Daraus folgt: \[ t = -\frac{\ln(0,5)}{\lambda} \] Jetzt berechnen wir \( \lambda \) und dann \( t \). ### Schritt 3: Berechnung des Zerfallsfaktors Der Zerfallsfaktor \( Z \) für eine Zeitspanne \( t \) kann durch die Formel berechnet werden: \[ Z(t) = \frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t} \] Wir berechnen den Zerfallsfaktor für die Zeitspannen 1, 2, 3 und 5 Stunden. Jetzt führe ich die Berechnungen durch. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(-\ln{\left(0.5\right)}\) - step1: Convert the expressions: \(-\ln{\left(\frac{1}{2}\right)}\) - step2: Write in exponential form: \(-\ln{\left(2^{-1}\right)}\) - step3: Rewrite the logarithm: \(\ln{\left(2\right)}\) Calculate or simplify the expression \( -\ln(0.75) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(-\ln{\left(0.75\right)}\) - step1: Convert the expressions: \(-\ln{\left(\frac{3}{4}\right)}\) - step2: Rewrite the expression: \(-\ln{\left(3\right)}+2\ln{\left(2\right)}\) Calculate or simplify the expression \( e^(-0.287682*2) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(e^{-0.287682\times 2}\) - step1: Multiply the numbers: \(e^{-0.575364}\) - step2: Convert the expressions: \(e^{-\frac{143841}{250000}}\) - step3: Express with a positive exponent: \(\frac{1}{e^{\frac{143841}{250000}}}\) - step4: Simplify: \(\frac{1}{\sqrt[250000]{e^{143841}}}\) - step5: Multiply by the Conjugate: \(\frac{\sqrt[250000]{e^{106159}}}{\sqrt[250000]{e^{143841}}\times \sqrt[250000]{e^{106159}}}\) - step6: Multiply the numbers: \(\frac{\sqrt[250000]{e^{106159}}}{e}\) Calculate or simplify the expression \( e^(-0.287682*1) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(e^{-0.287682\times 1}\) - step1: Multiply: \(e^{-0.287682}\) - step2: Convert the expressions: \(e^{-\frac{143841}{500000}}\) - step3: Express with a positive exponent: \(\frac{1}{e^{\frac{143841}{500000}}}\) - step4: Simplify: \(\frac{1}{\sqrt[500000]{e^{143841}}}\) - step5: Multiply by the Conjugate: \(\frac{\sqrt[500000]{e^{356159}}}{\sqrt[500000]{e^{143841}}\times \sqrt[500000]{e^{356159}}}\) - step6: Multiply the numbers: \(\frac{\sqrt[500000]{e^{356159}}}{e}\) Calculate or simplify the expression \( e^(-0.287682*3) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(e^{-0.287682\times 3}\) - step1: Multiply the numbers: \(e^{-0.863046}\) - step2: Convert the expressions: \(e^{-\frac{431523}{500000}}\) - step3: Express with a positive exponent: \(\frac{1}{e^{\frac{431523}{500000}}}\) - step4: Simplify: \(\frac{1}{\sqrt[500000]{e^{431523}}}\) - step5: Multiply by the Conjugate: \(\frac{\sqrt[500000]{e^{68477}}}{\sqrt[500000]{e^{431523}}\times \sqrt[500000]{e^{68477}}}\) - step6: Multiply the numbers: \(\frac{\sqrt[500000]{e^{68477}}}{e}\) Calculate or simplify the expression \( e^(-0.287682*5) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(e^{-0.287682\times 5}\) - step1: Multiply the numbers: \(e^{-1.43841}\) - step2: Convert the expressions: \(e^{-\frac{143841}{100000}}\) - step3: Express with a positive exponent: \(\frac{1}{e^{\frac{143841}{100000}}}\) - step4: Multiply by the Conjugate: \(\frac{e^{\frac{56159}{100000}}}{e^{\frac{143841}{100000}}\times e^{\frac{56159}{100000}}}\) - step5: Multiply the numbers: \(\frac{e^{\frac{56159}{100000}}}{e^{2}}\) Calculate or simplify the expression \( -\ln(0.5)/0.287682 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(-\frac{\ln{\left(0.5\right)}}{0.287682}\) - step1: Calculate: \(-\frac{-\ln{\left(2\right)}}{0.287682}\) - step2: Use the rules for multiplication and division: \(\frac{\ln{\left(2\right)}}{0.287682}\) - step3: Rewrite the expression: \(\frac{\ln{\left(2\right)}}{\frac{143841}{500000}}\) - step4: Multiply by the reciprocal: \(\ln{\left(2\right)}\times \frac{500000}{143841}\) - step5: Multiply the terms: \(\frac{\ln{\left(2\right)}\times 500000}{143841}\) - step6: Multiply the terms: \(\frac{500000\ln{\left(2\right)}}{143841}\) ### Lösung #### Schritt 1: Berechnung der Zerfallskonstante \( \lambda \) Wir haben berechnet, dass: \[ \lambda \approx 0,287682 \] #### Schritt 2: Berechnung der Zeit \( t \), bis weniger als 0,5 mg vorhanden ist Die Zeit \( t \) kann berechnet werden als: \[ t \approx -\frac{\ln(0,5)}{0,287682} \approx 2,409421 \text{ Stunden} \] Das bedeutet, dass nach etwa 2,41 Stunden zum ersten Mal weniger als 0,5 mg vorhanden ist. #### Schritt 3: Berechnung des Zerfallsfaktors für verschiedene Zeitspannen 1. **Für 1 Stunde:** \[ Z(1) \approx 0,75 \] 2. **Für 2 Stunden:** \[ Z(2) \approx 0,5625 \] 3. **Für 3 Stunden:** \[ Z(3) \approx 0,421875 \] 4. **Für 5 Stunden:** \[ Z(5) \approx 0,237305 \] ### Zusammenfassung der Ergebnisse a) Nach etwa **2,41 Stunden** ist von 1 mg zum ersten Mal weniger als 0,5 mg vorhanden. b) Die Zerfallsfaktoren sind: - Nach 1 Stunde: \( \approx 0,75 \) - Nach 2 Stunden: \( \approx 0,5625 \) - Nach 3 Stunden: \( \approx 0,421875 \) - Nach 5 Stunden: \( \approx 0,237305 \)