c) $$ \sqrt{3}=\frac{-1}{\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} ight)} $$ Resuelve las siguientes ecuaciones trigonc $$ \begin{array}{ll} ext { a) } \cos x+\operatorname{sen} 2 x=0 & ext { b) } \cos 2 x+\cos ^{2} \ ext { c) } \cos 2 x+1=\operatorname{sen} 2 x & ext { Resuelve las siguientes ecuaciones trigor } \ \begin{array}{ll} ext { a) } 2 \operatorname{sen}^{2} x-\operatorname{sen} x=1 & ext { b) } \cos x+\cos \ ext { c) } \operatorname{tg} 2 x+\operatorname{tg} x=0 & \end{array}\end{array}l $$

Question

c) $$ \sqrt{3}=\frac{-1}{\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}ight)} $$ Resuelve las siguientes ecuaciones trigonc $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } \cos x+\operatorname{sen} 2 x=0 & 	ext { b) } \cos 2 x+\cos ^{2} \ 	ext { c) } \cos 2 x+1=\operatorname{sen} 2 x & 	ext { Resuelve las siguientes ecuaciones trigor } \ \begin{array}{ll}	ext { a) } 2 \operatorname{sen}^{2} x-\operatorname{sen} x=1 & 	ext { b) } \cos x+\cos \ 	ext { c) } \operatorname{tg} 2 x+\operatorname{tg} x=0 & \end{array}\end{array}>l $$

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Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$2x+1=2x$$
- step1: Cancel equal terms:
  $$1=0$$
- step2: The statement is false:
  $$x \in \varnothing $$
Solve the equation $$ 2\text{sen}^2 x - \text{sen} x = 1 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$2x-x=1$$
- step1: Subtract the terms:
  $$x=1$$
Solve the equation $$ \tan 2x + \tan x = 0 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$\tan\left(2x\right)+\tan\left(x\right)=0$$
- step1: Find the domain:
  $$\tan\left(2x\right)+\tan\left(x\right)=0,x\neq \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.,k \in \mathbb{Z}$$
- step2: Transform the expression:
  $$\frac{\sin\left(3x\right)}{\cos\left(2x\right)\cos\left(x\right)}=0$$
- step3: Cross multiply:
  $$\sin\left(3x\right)=\cos\left(2x\right)\cos\left(x\right)\times 0$$
- step4: Simplify the equation:
  $$\sin\left(3x\right)=0$$
- step5: Use the inverse trigonometric function:
  $$3x=\arcsin\left(0\right)$$
- step6: Calculate:
  $$3x=0$$
- step7: Add the period:
  $$3x=k\pi ,k \in \mathbb{Z}$$
- step8: Solve the equation:
  $$x=\frac{k\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$$
- step9: Check if the solution is in the defined range:
  $$x=\frac{k\pi }{3},k \in \mathbb{Z},x\neq \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.,k \in \mathbb{Z}$$
- step10: Find the intersection:
  $$x=\frac{k\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$$
Solve the equation $$ \frac{-1}{\tan\frac{x}{2}}=\frac{1}{\tan\frac{x}{2}} $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$\frac{-1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}$$
- step1: Rewrite the fraction:
  $$-\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}$$
- step2: Multiply both sides of the equation by LCD:
  $$-\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}\times \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}\times \tan\left(\frac{x}{2}\right)$$
- step3: Simplify the equation:
  $$-1=1$$
- step4: The statement is false:
  $$x \in \varnothing $$
Solve the equation $$ \frac{-1}{\tan\frac{x}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}} $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$\frac{-1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}}$$
- step1: Rewrite the fraction:
  $$-\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$$
- step2: Multiply both sides of the equation by LCD:
  $$-\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}\times \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\tan\left(\frac{x}{2}\right)$$
- step3: Simplify the equation:
  $$-1=\tan^{2}\left(\frac{x}{2}\right)$$
- step4: Swap the sides:
  $$\tan^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=-1$$
- step5: Calculate:
  $$x \notin \mathbb{R}$$
Vamos a resolver las ecuaciones trigonométricas que has proporcionado.

### Parte c) 
1. **Ecuación:** $$ \sqrt{3} = \frac{-1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} $$

Al resolver esta ecuación, encontramos que no hay soluciones reales:
   $$
   x \notin \mathbb{R} \quad \text{o} \quad \text{No hay solución real.}
   $$

2. **Ecuación:** $$ \tan 2x + \tan x = 0 $$

Resolviendo esta ecuación, obtenemos:
   $$
   x = \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}
   $$

### Parte a)
1. **Ecuación:** $$ 2\sin^2 x - \sin x = 1 $$

Al resolver esta ecuación, encontramos:
   $$
   x = 1
   $$

2. **Ecuación:** $$ \cos x + \cos^2 x = 0 $$

Esta ecuación no tiene soluciones reales:
   $$
   x \in \varnothing
   $$

3. **Ecuación:** $$ \cos 2x + 1 = \sin 2x $$

Esta ecuación también no tiene soluciones reales:
   $$
   x \in \varnothing
   $$

### Resumen de soluciones:
- Para $$ \sqrt{3} = \frac{-1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} $$: No hay solución real.
- Para $$ \tan 2x + \tan x = 0 $$: $$ x = \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $$.
- Para $$ 2\sin^2 x - \sin x = 1 $$: $$ x = 1 $$.
- Para $$ \cos x + \cos^2 x = 0 $$: No hay solución real.
- Para $$ \cos 2x + 1 = \sin 2x $$: No hay solución real.
### Soluciones de las Ecuaciones Trigonométricas: 1. **c) $$ \sqrt{3} = \frac{-1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} $$** - **Resultado:** No hay solución real. 2. **c) $$ \tan 2x + \tan x = 0 $$** - **Soluciones:** $$ x = \frac{k\pi}{3} $$, donde $$ k $$ es cualquier entero. 3. **a) $$ 2\sin^2 x - \sin x = 1 $$** - **Solución:** $$ x = 1 $$. 4. **b) $$ \cos x + \cos^2 x = 0 $$** - **Resultado:** No hay solución real. 5. **c) $$ \cos 2x + 1 = \sin 2x $$** - **Resultado:** No hay solución real. **Resumen:** - La ecuación $$ \sqrt{3} = \frac{-1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} $$ no tiene soluciones reales. - La ecuación $$ \tan 2x + \tan x = 0 $$ tiene soluciones en la forma $$ x = \frac{k\pi}{3} $$, donde $$ k $$ es cualquier entero. - La ecuación $$ 2\sin^2 x - \sin x = 1 $$ tiene la solución $$ x = 1 $$. - Las ecuaciones $$ \cos x + \cos^2 x = 0 $$ y $$ \cos 2x + 1 = \sin 2x $$ no tienen soluciones reales.

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