1. Encuentra la ecuación de la recta que es la intersección de los planos $$ x-y+5 z=-5 $$ $$ -5 x+4 y-6 z=2 $$ Escribe los números redondeando a dos decimales . $$ P=(\square)+\lambda(\square) $$ 2. Encuentra el vector unitario normal al plano $$ -2 x-6 y-5 z-3=0 $$. Escribe la respuesta redondeando a dos decimales Respuesta: $$ n=(\square) $$ 3. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto $$ P(7,3,7) $$ y es ortogonal al vector $$ n(-2,-5,-3) $$. Escribe los coeficientes redondeando a dos decimales .

Question

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1. Sea el sistema de ecuaciones de los planos

$$
x - y + 5z = -5
$$

$$
-5x + 4y - 6z = 2
$$

Podemos expresar una variable en función de un parámetro. Tomamos

$$
z = \lambda.
$$

De la primera ecuación:

$$
x - y = -5 - 5\lambda \quad \Longrightarrow \quad x = y - 5\lambda - 5.
$$

Sustituimos en la segunda ecuación:

$$
-5(y - 5\lambda - 5) + 4y - 6\lambda = 2.
$$

Despejamos paso a paso:

$$
-5y + 25\lambda + 25 + 4y - 6\lambda = 2,
$$

$$
 -y + 19\lambda + 25 = 2,
$$

$$
 -y = 2 -25 - 19\lambda,
$$

$$
 y = 23 + 19\lambda.
$$

Ahora, regresamos a la expresión de $$x$$:

$$
x = (23 + 19\lambda) - 5\lambda - 5 = 18 + 14\lambda.
$$

Así, la recta de intersección tiene ecuaciones paramétricas:

$$
x = 18 + 14\lambda,\quad y = 23 + 19\lambda,\quad z = \lambda.
$$

O de forma vectorial:

$$
P = (18.00,\, 23.00,\, 0.00) + \lambda\, (14.00,\, 19.00,\, 1.00).
$$

2. El plano

$$
-2x-6y-5z-3=0
$$

tiene como vector normal $$ \vec{n} = (-2, -6, -5) $$. Su magnitud es

$$
\|\vec{n}\|=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2+(-5)^2}=\sqrt{4+36+25}=\sqrt{65}\approx 8.06.
$$

El vector unitario normal es

$$
n=\frac{1}{8.06}(-2,-6,-5)\approx (-0.25,\,-0.74,\,-0.62).
$$

3. El plano que pasa por el punto $$ P(7,3,7) $$ y es ortogonal al vector $$ n=(-2,-5,-3) $$ tiene la ecuación

$$
-2(x-7)-5(y-3)-3(z-7)=0.
$$

Desarrollamos:

$$
-2x+14-5y+15-3z+21=0,
$$

$$
-2x-5y-3z+50=0.
$$

Escribiendo los coeficientes redondeados a dos decimales, la ecuación del plano es:

$$
-2.00x - 5.00y - 3.00z + 50.00 = 0.
$$
1. La recta de intersección de los planos es: $$ P = (18.00,\, 23.00,\, 0.00) + \lambda\, (14.00,\, 19.00,\, 1.00) $$ 2. El vector unitario normal al plano es: $$ n = (-0.25,\, -0.74,\, -0.62) $$ 3. La ecuación del plano es: $$ -2.00x - 5.00y - 3.00z + 50.00 = 0 $$

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