Ta utgangspunkt i følgende funksjon: $$ f(x)=\left(x^{2}+3 x\right) \sqrt{x} $$ Er det sant eller ikke sant at uttrykket for den deriverte til $$ f(x) $$ nedenfor er riktig? $$ f^{\prime}(x)=\frac{(5 x+9) \sqrt{x}}{2} $$ Sant Usant

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

For å sjekke om uttrykket for den deriverte til $$ f(x) $$ er riktig, må vi først finne den deriverte til $$ f(x) $$ ved å bruke regelen for derivasjon av en produkt av to funksjoner.

Vi har funksjonen $$ f(x) = (x^{2} + 3x) \sqrt{x} $$.

Vi kan skrive funksjonen som et produkt av to funksjoner: $$ f(x) = u(x) \cdot v(x) $$, hvor $$ u(x) = x^{2} + 3x $$ og $$ v(x) = \sqrt{x} $$.

Regelen for derivasjon av et produkt av to funksjoner er:
$$ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' $$

La oss finne den deriverte til $$ f(x) $$ ved å bruke denne regelen.

Først finner vi $$ u'(x) $$ og $$ v'(x) $$:
$$ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 3x) = 2x + 3 $$
$$ v'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Deretter bruker vi regelen for derivasjon av et produkt av to funksjoner:
$$ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $$
$$ f'(x) = (2x + 3) \sqrt{x} + (x^{2} + 3x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Nå kan vi sjekke om uttrykket $$ f^{\prime}(x) = \frac{(5x + 9) \sqrt{x}}{2} $$ er riktig ved å sammenligne det med det vi har funnet for $$ f'(x) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$\left(2x+3\right)\sqrt{x}+\left(x^{2}+3x\right)\left(\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)}\right)$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\left(2x+3\right)\sqrt{x}+\left(x^{2}+3x\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$$
- step2: Remove the parentheses:
  $$\left(2x+3\right)\sqrt{x}+\left(x^{2}+3x\right)\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
- step3: Multiply the terms:
  $$\left(2x+3\right)\sqrt{x}+\frac{x^{2}+3x}{2\sqrt{x}}$$
- step4: Expand the expression:
  $$2x\sqrt{x}+3\sqrt{x}+\frac{x^{2}+3x}{2\sqrt{x}}$$
- step5: Reduce fractions to a common denominator:
  $$\frac{2x\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{3\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{x^{2}+3x}{2\sqrt{x}}$$
- step6: Transform the expression:
  $$\frac{2x\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+3\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+x^{2}+3x}{2\sqrt{x}}$$
- step7: Multiply the terms:
  $$\frac{4x^{2}+3\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+x^{2}+3x}{2\sqrt{x}}$$
- step8: Multiply the terms:
  $$\frac{4x^{2}+6x+x^{2}+3x}{2\sqrt{x}}$$
- step9: Add the terms:
  $$\frac{5x^{2}+9x}{2\sqrt{x}}$$
- step10: Calculate:
  $$\frac{\left(5x\sqrt{x}+9\sqrt{x}\right)\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$
- step11: Reduce the fraction:
  $$\frac{5x\sqrt{x}+9\sqrt{x}}{2}$$
Den deriverte til $$ f(x) $$ er $$ f'(x) = \frac{5x\sqrt{x} + 9\sqrt{x}}{2} $$.

Så uttrykket $$ f^{\prime}(x) = \frac{(5x + 9) \sqrt{x}}{2} $$ er riktig.
Sant

Ta utgangspunkt i følgende funksjon:

Er det sant eller ikke sant at uttrykket for den deriverte til nedenfor er
riktig?

Sant
Usant

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Related Questions

Latest Calculus Questions