Følgende funksjon er gitt: $$ f(x)=\frac{x^{2}-3}{x+4} $$ Den deriverte av d\$nne funksjonen er gitt som: $$ f^{\prime}(x)=\frac{k \cdot x^{2}+8 x+3}{(x+4)^{2}} $$ Hva er $$ k $$ ? Legg inn verdien som heltall i boksen nedenfor.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

For å finne verdien av $$ k $$ i den deriverte $$ f^{\prime}(x) $$, kan vi først derivere funksjonen $$ f(x) = \frac{x^{2}-3}{x+4} $$ ved hjelp av kvotientregelen. Kvotientregelen sier at hvis vi har en funksjon $$ \frac{u}{v} $$, så er den deriverte gitt ved:

$$
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$

Her er $$ u = x^2 - 3 $$ og $$ v = x + 4 $$.

Først finner vi $$ u' $$ og $$ v' $$:

$$
u' = 2x
$$
$$
v' = 1
$$

Nå kan vi bruke kvotientregelen:

$$
f'(x) = \frac{(2x)(x + 4) - (x^2 - 3)(1)}{(x + 4)^2}
$$

La oss forenkle telleren:

$$
f'(x) = \frac{2x(x + 4) - (x^2 - 3)}{(x + 4)^2}
$$

Utvid $$ 2x(x + 4) $$:

$$
2x^2 + 8x
$$

Så telleren blir:

$$
2x^2 + 8x - (x^2 - 3) = 2x^2 + 8x - x^2 + 3 = (2x^2 - x^2) + 8x + 3 = x^2 + 8x + 3
$$

Dermed får vi:

$$
f'(x) = \frac{x^2 + 8x + 3}{(x + 4)^2}
$$

Vi ser at den deriverte kan skrives som:

$$
f'(x) = \frac{k \cdot x^2 + 8x + 3}{(x + 4)^2}
$$

Sammenligner vi dette med vår tidligere utregning, ser vi at $$ k = 1 $$.

Dermed er verdien av $$ k $$:

$$
\boxed{1}
$$
$$ k = 1 $$

Følgende funksjon er gitt: \( f(x)=\frac{x^{2}-3}{x+4} \) Den deriverte av d\$nne funksjonen er gitt som: \( f^{\prime}(x)=\frac{k \cdot x^{2}+8 x+3}{(x+4)^{2}} \) Hva er \( k \) ? Legg inn verdien som heltall i boksen nedenfor.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Related Questions

Latest Calculus Questions