EXERCICE 3 On considère la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ définie par: $$ u_{n}=7-3 n $$. - Calculer ses quatre premiers termes. - Montrer que : $$ u_{n+1}=u_{n}-3 $$. Soit la suite $$ \left(v_{n}\right) $$ telle que : $$ v_{0}=2 $$ et $$ v_{n+1}=3-2 v_{n} $$ - Calculer $$ v_{1}, v_{2} $$ et $$ v_{3} $$. - Montrer que $$ v_{n+2}=4 v_{n}-3 $$.

Question

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### **Exercice 3**

On considère la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ définie par :
$$ u_{n} = 7 - 3n $$

#### **a) Calculer ses quatre premiers termes.**

Pour calculer les quatre premiers termes de la suite $$ \left(u_{n}\right) $$, on remplace $$ n $$ par 0, 1, 2 et 3.

- **Pour $$ n = 0 $$ :**
  $$ u_0 = 7 - 3 \times 0 = 7 $$

- **Pour $$ n = 1 $$ :**
  $$ u_1 = 7 - 3 \times 1 = 7 - 3 = 4 $$

- **Pour $$ n = 2 $$ :**
  $$ u_2 = 7 - 3 \times 2 = 7 - 6 = 1 $$

- **Pour $$ n = 3 $$ :**
  $$ u_3 = 7 - 3 \times 3 = 7 - 9 = -2 $$

**Les quatre premiers termes de la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ sont donc :**
$$ u_0 = 7, \quad u_1 = 4, \quad u_2 = 1, \quad u_3 = -2 $$

#### **b) Montrer que : $$ u_{n+1} = u_{n} - 3 $$.**

Pour démontrer cette relation de récurrence, exprimons $$ u_{n+1} $$ en fonction de $$ u_n $$.

$$ u_{n} = 7 - 3n $$
$$ u_{n+1} = 7 - 3(n + 1) = 7 - 3n - 3 = (7 - 3n) - 3 = u_{n} - 3 $$

**Ainsi, nous avons montré que :**
$$ u_{n+1} = u_{n} - 3 $$

---

Soit maintenant la suite $$ \left(v_{n}\right) $$ définie par :
$$ v_{0} = 2 $$
$$ v_{n+1} = 3 - 2v_{n} $$

#### **a) Calculer $$ v_{1}, v_{2} $$ et $$ v_{3} $$.**

Calculons les termes successifs en utilisant la relation de récurrence.

- **Calcul de $$ v_1 $$ :**
  $$ v_1 = 3 - 2v_0 = 3 - 2 \times 2 = 3 - 4 = -1 $$

- **Calcul de $$ v_2 $$ :**
  $$ v_2 = 3 - 2v_1 = 3 - 2 \times (-1) = 3 + 2 = 5 $$

- **Calcul de $$ v_3 $$ :**
  $$ v_3 = 3 - 2v_2 = 3 - 2 \times 5 = 3 - 10 = -7 $$

**Ainsi, les termes demandés sont :**
$$ v_1 = -1, \quad v_2 = 5, \quad v_3 = -7 $$

#### **b) Montrer que $$ v_{n+2} = 4v_{n} - 3 $$.**

Pour montrer cette relation, exprimons $$ v_{n+2} $$ en fonction de $$ v_n $$ à l'aide de la relation de récurrence donnée.

1. **Exprimer $$ v_{n+1} $$ :**
   $$ v_{n+1} = 3 - 2v_n $$

2. **Exprimer $$ v_{n+2} $$ en remplaçant $$ n $$ par $$ n+1 $$ dans la relation de récurrence :**
   $$ v_{n+2} = 3 - 2v_{n+1} $$

3. **Remplacer $$ v_{n+1} $$ par son expression en fonction de $$ v_n $$ :**
   $$ v_{n+2} = 3 - 2(3 - 2v_n) $$
   $$ v_{n+2} = 3 - 6 + 4v_n $$
   $$ v_{n+2} = 4v_n - 3 $$

**Ainsi, nous avons démontré que :**
$$ v_{n+2} = 4v_{n} - 3 $$
### **Exercice 3** **Suite $$ \left(u_{n}\right) $$:** $$ u_{n} = 7 - 3n $$ - **Premiers termes :** - $$ u_0 = 7 $$ - $$ u_1 = 4 $$ - $$ u_2 = 1 $$ - $$ u_3 = -2 $$ - **Relation de récurrence :** $$ u_{n+1} = u_{n} - 3 $$ **Suite $$ \left(v_{n}\right) $$:** $$ v_{0} = 2 $$ $$ v_{n+1} = 3 - 2v_{n} $$ - **Termes calculés :** - $$ v_1 = -1 $$ - $$ v_2 = 5 $$ - $$ v_3 = -7 $$ - **Relation de récurrence :** $$ v_{n+2} = 4v_{n} - 3 $$

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