\( \frac { 7 \pm \sqrt { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = 0 } { x ^ { 2 } } \)

Para resolver la ecuación: \[ \frac{7 \pm \sqrt{x^{2} + 3x - 4}}{x^{2}} = 0 \] seguimos los siguientes pasos: ### Paso 1: Determinar cuándo una fracción es igual a cero Una fracción es igual a cero cuando **el numerador es igual a cero** y **el denominador es diferente de cero**. Por lo tanto, debemos resolver: \[ 7 \pm \sqrt{x^{2} + 3x - 4} = 0 \] y asegurarnos de que \( x^{2} \neq 0 \), es decir, \( x \neq 0 \). ### Paso 2: Resolver las dos posibilidades del numerador #### Caso 1: \( 7 + \sqrt{x^{2} + 3x - 4} = 0 \) \[ \sqrt{x^{2} + 3x - 4} = -7 \] Sin embargo, una raíz cuadrada nunca es negativa. Por lo tanto, **no hay solución real** en este caso. #### Caso 2: \( 7 - \sqrt{x^{2} + 3x - 4} = 0 \) \[ \sqrt{x^{2} + 3x - 4} = 7 \] Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz: \[ x^{2} + 3x - 4 = 49 \] Simplificamos la ecuación: \[ x^{2} + 3x - 53 = 0 \] ### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática Utilizamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \] donde \( a = 1 \), \( b = 3 \) y \( c = -53 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-53)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 212}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{221}}{2} \] Las soluciones son: \[ x = \frac{-3 + \sqrt{221}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{221}}{2} \] ### Paso 4: Verificar el dominio de la raíz cuadrada El radicando \( x^{2} + 3x - 4 \) debe ser mayor o igual a cero: \[ x^{2} + 3x - 4 \geq 0 \] Resolvemos la ecuación cuadrática asociada: \[ x^{2} + 3x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Esto da las soluciones \( x = 1 \) y \( x = -4 \). Por lo tanto, la desigualdad se cumple para: \[ x \leq -4 \quad \text{o} \quad x \geq 1 \] ### Paso 5: Confirmar que las soluciones cumplen con el dominio Calculamos las soluciones aproximadas: \[ \sqrt{221} \approx 14.866 \] \[ x \approx \frac{-3 + 14.866}{2} \approx 5.933 \quad (\geq 1, válido) \] \[ x \approx \frac{-3 - 14.866}{2} \approx -8.933 \quad (\leq -4, válido) \] Ambas soluciones cumplen con el dominio establecido. ### Conclusión Las soluciones de la ecuación son: \[ x = \frac{-3 + \sqrt{221}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{221}}{2} \] ### Respuesta Final Las soluciones de la ecuación son: \[ x = \frac{-3 + \sqrt{221}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{221}}{2} \]