$$ \frac { 7 \pm \sqrt { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = 0 } { x ^ { 2 } } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la ecuación:

$$
\frac{7 \pm \sqrt{x^{2} + 3x - 4}}{x^{2}} = 0
$$

seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Determinar cuándo una fracción es igual a cero
Una fracción es igual a cero cuando **el numerador es igual a cero** y **el denominador es diferente de cero**.

Por lo tanto, debemos resolver:

$$
7 \pm \sqrt{x^{2} + 3x - 4} = 0
$$

y asegurarnos de que $$ x^{2} \neq 0 $$, es decir, $$ x \neq 0 $$.

### Paso 2: Resolver las dos posibilidades del numerador

#### Caso 1: $$ 7 + \sqrt{x^{2} + 3x - 4} = 0 $$

$$
\sqrt{x^{2} + 3x - 4} = -7
$$

Sin embargo, una raíz cuadrada nunca es negativa. Por lo tanto, **no hay solución real** en este caso.

#### Caso 2: $$ 7 - \sqrt{x^{2} + 3x - 4} = 0 $$

$$
\sqrt{x^{2} + 3x - 4} = 7
$$

Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz:

$$
x^{2} + 3x - 4 = 49
$$

Simplificamos la ecuación:

$$
x^{2} + 3x - 53 = 0
$$

### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática

Utilizamos la fórmula cuadrática:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
$$

donde $$ a = 1 $$, $$ b = 3 $$ y $$ c = -53 $$:

$$
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-53)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 212}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{221}}{2}
$$

Las soluciones son:

$$
x = \frac{-3 + \sqrt{221}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{221}}{2}
$$

### Paso 4: Verificar el dominio de la raíz cuadrada

El radicando $$ x^{2} + 3x - 4 $$ debe ser mayor o igual a cero:

$$
x^{2} + 3x - 4 \geq 0
$$

Resolvemos la ecuación cuadrática asociada:

$$
x^{2} + 3x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}
$$

Esto da las soluciones $$ x = 1 $$ y $$ x = -4 $$. Por lo tanto, la desigualdad se cumple para:

$$
x \leq -4 \quad \text{o} \quad x \geq 1
$$

### Paso 5: Confirmar que las soluciones cumplen con el dominio

Calculamos las soluciones aproximadas:

$$
\sqrt{221} \approx 14.866
$$
$$
x \approx \frac{-3 + 14.866}{2} \approx 5.933 \quad (\geq 1, válido)
$$
$$
x \approx \frac{-3 - 14.866}{2} \approx -8.933 \quad (\leq -4, válido)
$$

Ambas soluciones cumplen con el dominio establecido.

### Conclusión

Las soluciones de la ecuación son:

$$
x = \frac{-3 + \sqrt{221}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{221}}{2}
$$

### Respuesta Final

Las soluciones de la ecuación son:

$$
x = \frac{-3 + \sqrt{221}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{221}}{2}
$$
Las soluciones de la ecuación son $$ x = \frac{-3 + \sqrt{221}}{2} $$ y $$ x = \frac{-3 - \sqrt{221}}{2} $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Paso 1: Determinar cuándo una fracción es igual a cero

Paso 2: Resolver las dos posibilidades del numerador

Caso 1:

Caso 2:

Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática

Paso 4: Verificar el dominio de la raíz cuadrada

Paso 5: Confirmar que las soluciones cumplen con el dominio

Conclusión

Respuesta Final

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