Gegeben ist die Ebene $$ \mathrm{E}:-6 x_{1}+3 x_{2}-6 x_{3}=6 $$. Bestimme die Gleichung einer Ebene F , die parallel zu E ist und den Abstand $$ \mathrm{d}=9 $$ zu E hat. $$ \mathrm{F}:+\hat{v} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{v} \square $$ Bitte nur ganzzahlige Koordinaten für die Vektoren eingeben. lösen

Question

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Um die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$ zu bestimmen, die parallel zur Ebene $$ \mathrm{E} $$ ist und einen Abstand von $$ d = 9 $$ hat, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimme die Normalenform der Ebene $$ \mathrm{E} $$**:
   Die gegebene Ebene $$ \mathrm{E} $$ hat die Gleichung:
   $$
   -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = 6
   $$
   Der Normalenvektor $$ \hat{n} $$ der Ebene $$ \mathrm{E} $$ ist gegeben durch die Koeffizienten der Variablen:
   $$
   \hat{n} = (-6, 3, -6)
   $$

2. **Berechne den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen**:
   Der Abstand $$ d $$ zwischen zwei parallelen Ebenen kann mit der Formel berechnet werden:
   $$
   d = \frac{|d_1 - d_2|}{\|\hat{n}\|}
   $$
   wobei $$ d_1 $$ und $$ d_2 $$ die konstanten Terme der beiden Ebenen sind und $$ \|\hat{n}\| $$ die Norm des Normalenvektors ist.

3. **Berechne die Norm des Normalenvektors**:
   Zuerst berechnen wir die Norm des Normalenvektors $$ \hat{n} $$:
   $$
   \|\hat{n}\| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = 9
   $$

4. **Setze die Werte in die Abstandsformel ein**:
   Wir setzen $$ d = 9 $$ und $$ \|\hat{n}\| = 9 $$ in die Abstandsformel ein:
   $$
   9 = \frac{|6 - d_2|}{9}
   $$
   Daraus folgt:
   $$
   |6 - d_2| = 81
   $$

5. **Löse die Gleichung für $$ d_2 $$**:
   Es gibt zwei Fälle:
   - Fall 1: $$ 6 - d_2 = 81 $$ 
     $$
     d_2 = 6 - 81 = -75
     $$
   - Fall 2: $$ 6 - d_2 = -81 $$
     $$
     d_2 = 6 + 81 = 87
     $$

6. **Bestimme die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$**:
   Die beiden möglichen Ebenen $$ \mathrm{F} $$ sind:
   - Für $$ d_2 = -75 $$:
     $$
     -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = -75
     $$
   - Für $$ d_2 = 87 $$:
     $$
     -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = 87
     $$

Somit sind die beiden möglichen Gleichungen der Ebene $$ \mathrm{F} $$:
1. $$ -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = -75 $$
2. $$ -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = 87 $$

Die gesuchte Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$ kann also in der Form geschrieben werden:
$$
\mathrm{F}:-6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = d_2
$$
wobei $$ d_2 $$ entweder $$ -75 $$ oder $$ 87 $$ ist.
Die Ebene $$ \mathrm{F} $$ ist parallel zur Ebene $$ \mathrm{E} $$ und hat den Abstand $$ d = 9 $$. Ihre Gleichung lautet: $$ \mathrm{F}:-6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = -75 \quad \text{oder} \quad \mathrm{F}:-6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = 87 $$

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