Gegeben ist die Ebene \( \mathrm{E}:-6 x_{1}+3 x_{2}-6 x_{3}=6 \). Bestimme die Gleichung einer Ebene F , die parallel zu E ist und den Abstand \( \mathrm{d}=9 \) zu E hat. \[ \mathrm{F}:+\hat{v} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{v} \square \] Bitte nur ganzzahlige Koordinaten für die Vektoren eingeben. lösen

Um die Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \) zu bestimmen, die parallel zur gegebenen Ebene \( \mathrm{E} \) ist und einen Abstand von \( d = 9 \) hat, müssen wir zuerst den Normalenvektor der Ebene \( \mathrm{E} \) finden. Der Normalenvektor \( \mathbf{n} \) kann aus der Gleichung der Ebene abgelesen werden und ist gegeben durch: \[ \mathbf{n} = (-6, 3, -6). \] Da die Ebene \( \mathrm{F} \) parallel zu \( \mathrm{E} \) ist, hat sie denselben Normalenvektor. Die allgemeine Form der Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \) lautet somit: \[ -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = d + k, \] wobei \( k \) ein konstanter Term ist, der den Abstand zur Ebene \( \mathrm{E} \) beschreibt. Der Abstand \( d \) zwischen zwei parallelen Ebenen kann durch die Formel gegeben werden: \[ d = \frac{|k_2 - k_1|}{\sqrt{(-6)^2 + 3^2 + (-6)^2}}. \] In diesem Fall ist \( k_1 = 6 \) (der konstanten Term der Ebene \( \mathrm{E} \)) und \( d = 9 \). Daher setzen wir die Abstände ein: \[ 9 = \frac{|k - 6|}{\sqrt{36 + 9 + 36}} = \frac{|k - 6|}{\sqrt{81}} = \frac{|k - 6|}{9}. \] Das führt zu: \[ |k - 6| = 81. \] Also gibt es zwei Fälle: 1. \( k - 6 = 81 \) ⇨ \( k = 87 \) 2. \( k - 6 = -81 \) ⇨ \( k = -75 \) Damit haben wir zwei mögliche Parallel-Ebenen \( \mathrm{F_1} \) und \( \mathrm{F_2} \): Für \( k = 87 \): \[ -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = 87. \] Für \( k = -75 \): \[ -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = -75. \] Die allgemeine Gleichung der Ebene \( \mathrm{F} \) könnte dementsprechend wie folgt aussehen: \[ \mathrm{F_1}: -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = 87 \quad \text{oder} \quad \mathrm{F_2}: -6 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = -75. \] Das Ergebnis kann mit ganzzahligen Koeffizienten angegeben werden, wie in der Aufgabenstellung gefordert.