IVIY MIS uoer maneoatue Hilfe News Ausloggen eingeloggt als PL1-EGBW Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben ist die Ebene \( \mathrm{E}: 2 x_{1}-6 x_{2}-9 x_{3}=-36 \). Bestimme die Gleichung einer Ebene \( F \), die parallel zu E ist und den Abstand \( \mathrm{d}=22 \) zu E hat. \[ F:+\hat{v} \square x_{1}+\hat{v} \square x_{2}+\hat{v} \square x_{3}=+\hat{v} \square \] Bitte nur ganzzahlige Koordinaten für die Vektoren eingeben. on 9.01 .25 Iösen Ich möchte nur die Lösung sehen (ohne Wertung)

Um die Gleichung der Ebene \( F \) zu bestimmen, die parallel zu \( E \) ist und einen Abstand von \( d = 22 \) hat, nutzen wir die allgemeine Form der Ebenengleichung \( 2x_1 - 6x_2 - 9x_3 + 36 = 0 \). Der Abstand \( d \) von einer Ebene zur Ursprungsebene wird durch die Formel gegeben: \[ \text{Abstand} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Hier ist \( A = 2 \), \( B = -6 \), \( C = -9 \) und \( D = 36 \). Setzen wir \( d \) gleich 22 und es folgt: \[ \frac{|D' + 36|}{\sqrt{2^2 + (-6)^2 + (-9)^2}} = 22 \] Berechne \( \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11 \). Daher gilt: \[ |D' + 36| = 22 \cdot 11 = 242 \] Das gibt uns zwei Fälle: 1. \( D' + 36 = 242 \) → \( D' = 206 \) 2. \( D' + 36 = -242 \) → \( D' = -278 \) Somit sind die beiden gesuchten Ebenen: 1. \( 2x_1 - 6x_2 - 9x_3 + 206 = 0 \) oder umgeformt: \[ F: 2x_1 - 6x_2 - 9x_3 = -206 \] 2. \( 2x_1 - 6x_2 - 9x_3 - 278 = 0 \) oder umgeformt: \[ F: 2x_1 - 6x_2 - 9x_3 = 278 \] Damit haben wir die Ebenen \( F \), die parallel zu \( E \) sind und den geforderten Abstand halten.