5. Un insecto se encuentra en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por $$ T(x, y)=2 x^{2}-4 y^{2} $$. El insecto está en $$ (-1,2) $$. ¿En qué dirección deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la toxicidad?

Question

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La solución se obtiene siguiendo los siguientes pasos:

1. Calcular el gradiente de $$ T(x,y) $$.  
   Las derivadas parciales son:
   $$
   \frac{\partial T}{\partial x}=4x \quad \text{y} \quad \frac{\partial T}{\partial y}=-8y.
   $$
   Así, el gradiente es:
   $$
   \nabla T(x,y) = (4x, -8y).
   $$

2. Evaluar el gradiente en el punto $$(-1,2)$$:
   $$
   \nabla T(-1,2) = (4(-1), -8(2)) = (-4, -16).
   $$

3. La dirección de máximo descenso es la opuesta al gradiente. Por lo tanto, la dirección es:
   $$
   -\nabla T(-1,2) = (4,16).
   $$

4. Si se requiere la dirección como vector unitario, se normaliza:
   $$
   \text{Magnitude} = \sqrt{4^2 + 16^2} = \sqrt{16+256} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}.
   $$
   Entonces, el vector unitario es:
   $$
   \left(\frac{4}{4\sqrt{17}}, \frac{16}{4\sqrt{17}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}}\right).
   $$

Por lo tanto, el insecto debe moverse en la dirección del vector $$\boxed{(4,16)}$$ o su vector unitario $$\left(\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}}\right)$$ para disminuir lo más rápido posible la toxicidad.
El insecto debe moverse en la dirección del vector (4,16) para disminuir la toxicidad lo más rápido posible.

Un insecto se encuentra en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad
está dado por . El insecto está en . ¿En qué
dirección deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la
toxicidad?

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