Упраэснения Вычислите $$ (413-423) $$. $$ \begin{array}{lll} ext { 413. а) } \operatorname{tg} 75^{\circ} ; & ext { в) } \operatorname{ctg} 105^{\circ} ; & ext { д) } \operatorname{tg} \frac{7 \pi}{12} \ ext { б) } \operatorname{tg} 225^{\circ} ; & ext { г) } \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12} ; & ext { е) } \operatorname{ctg} \frac{5 \pi}{12}\end{array} $$

Question

Упраэснения Вычислите $$ (413-423) $$. $$ \begin{array}{lll}	ext { 413. а) } \operatorname{tg} 75^{\circ} ; & 	ext { в) } \operatorname{ctg} 105^{\circ} ; & 	ext { д) } \operatorname{tg} \frac{7 \pi}{12} \ 	ext { б) } \operatorname{tg} 225^{\circ} ; & 	ext { г) } \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12} ; & 	ext { е) } \operatorname{ctg} \frac{5 \pi}{12}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте последовательно вычислим значения заданных тригонометрических функций.

### а) $$\tan 75^{\circ}$$

Используем формулу для тангенса суммы углов:
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
$$
Пусть $$A = 45^{\circ}$$, $$B = 30^{\circ}$$:
$$
\tan 75^{\circ} = \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
Рационализируем знаменатель:
$$
\tan 75^{\circ} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$

**Ответ:** $$\tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$$

### б) $$\tan 225^{\circ}$$

Угол $$225^{\circ}$$ находится в третьей четверти, где тангенс положительный. Используем периодичность:
$$
\tan 225^{\circ} = \tan (180^{\circ} + 45^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1
$$

**Ответ:** $$\tan 225^{\circ} = 1$$

### в) $$\cot 105^{\circ}$$

Котангенс можно выразить через тангенс:
$$
\cot 105^{\circ} = \frac{1}{\tan 105^{\circ}}
$$
Вычислим $$\tan 105^{\circ}$$:
$$
\tan 105^{\circ} = \tan (60^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{\tan 60^{\circ} + \tan 45^{\circ}}{1 - \tan 60^{\circ} \tan 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = -2 - \sqrt{3}
$$
Следовательно:
$$
\cot 105^{\circ} = \frac{1}{-2 - \sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2
$$

**Ответ:** $$\cot 105^{\circ} = \sqrt{3} - 2$$

### г) $$\cot \frac{\pi}{12}$$

$$\frac{\pi}{12}$$ радиан равен $$15^{\circ}$$. Используем связь между котангенсом и тангенсом:
$$
\cot 15^{\circ} = \tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}
$$

**Ответ:** $$\cot \frac{\pi}{12} = 2 + \sqrt{3}$$

### д) $$\tan \frac{7\pi}{12}$$

$$\frac{7\pi}{12}$$ радиан равен $$105^{\circ}$$. Мы уже вычисляли $$\tan 105^{\circ}$$:
$$
\tan 105^{\circ} = -2 - \sqrt{3}
$$

**Ответ:** $$\tan \frac{7\pi}{12} = -2 - \sqrt{3}$$

### е) $$\cot \frac{5\pi}{12}$$

$$\frac{5\pi}{12}$$ радиан равен $$75^{\circ}$$. Используем связь между котангенсом и тангенсом:
$$
\cot 75^{\circ} = \tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}
$$

**Ответ:** $$\cot \frac{5\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$$
$$ \begin{array}{lll} \text{а) } \tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3} \ \text{б) } \tan 225^{\circ} = 1 \ \text{в) } \cot 105^{\circ} = \sqrt{3} - 2 \ \text{г) } \cot \frac{\pi}{12} = 2 + \sqrt{3} \ \text{д) } \tan \frac{7\pi}{12} = -2 - \sqrt{3} \ \text{е) } \cot \frac{5\pi}{12} = 2 - \sqrt{3} \end{array} $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Trigonometry Questions