$$ \lim _ { x \rightarrow + \infty } \frac { \ln ( \sqrt { x } - 1 ) } { \ln ( x ) } $$

Question

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Pour évaluer la limite

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(\sqrt{x} - 1)}{\ln(x)},
$$

nous allons d'abord simplifier l'expression dans le numérateur.

Lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$, $$ \sqrt{x} $$ devient très grand, donc $$ \sqrt{x} - 1 $$ se rapproche de $$ \sqrt{x} $$. Ainsi, nous pouvons écrire :

$$
\ln(\sqrt{x} - 1) \approx \ln(\sqrt{x}) \quad \text{quand } x \rightarrow +\infty.
$$

Nous savons que

$$
\ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(x).
$$

Donc, nous avons :

$$
\ln(\sqrt{x} - 1) \sim \frac{1}{2} \ln(x) \quad \text{quand } x \rightarrow +\infty.
$$

Maintenant, substituons cela dans notre limite :

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(\sqrt{x} - 1)}{\ln(x)} \approx \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{2} \ln(x)}{\ln(x)}.
$$

Cela se simplifie à :

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
$$

Ainsi, la limite est

$$
\boxed{\frac{1}{2}}.
$$
La limite est $$\boxed{\frac{1}{2}}$$.

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