12) (UEFS-00) O valor de \( \mathrm{b} \in \mathrm{R} \) para que o número \( \mathrm{z}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{3+\mathrm{bi}} \) seja real e : a) 6 b) \( 3 / 2 \) c) 0 d) \( -3 / 2 \) e) -6

Para que o número complexo \( z = \frac{1 - 2i}{3 + bi} \) seja real, o denominador deve ser tal que a parte imaginária do resultado seja zero. Para isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de \( 3 + bi \) é \( 3 - bi \). Assim, temos: \[ z = \frac{(1 - 2i)(3 - bi)}{(3 + bi)(3 - bi)} \] Calculando o denominador: \[ (3 + bi)(3 - bi) = 3^2 - (bi)^2 = 9 + b^2 \] Agora, calculando o numerador: \[ (1 - 2i)(3 - bi) = 3 - bi - 6i + 2bi = 3 + (2b - 6)i \] Portanto, podemos reescrever \( z \): \[ z = \frac{3 + (2b - 6)i}{9 + b^2} \] Para que \( z \) seja real, a parte imaginária deve ser zero: \[ 2b - 6 = 0 \] Resolvendo essa equação: \[ 2b = 6 \implies b = 3 \] No entanto, essa opção não está entre as alternativas. Vamos verificar se há algum erro ou se precisamos considerar a parte real. A parte real de \( z \) é: \[ \text{Parte real} = \frac{3}{9 + b^2} \] A parte imaginária é: \[ \text{Parte imaginária} = \frac{2b - 6}{9 + b^2} \] Para que \( z \) seja real, a parte imaginária deve ser zero, o que já foi resolvido. Portanto, a única solução que encontramos é \( b = 3 \). Entretanto, como essa opção não está disponível, vamos verificar as opções dadas: a) 6 b) \( \frac{3}{2} \) c) 0 d) \( -\frac{3}{2} \) e) -6 Vamos testar cada uma dessas opções para ver se alguma delas faz a parte imaginária igual a zero. 1. Para \( b = 6 \): \[ 2(6) - 6 = 12 - 6 = 6 \quad (\text{não é zero}) \] 2. Para \( b = \frac{3}{2} \): \[ 2\left(\frac{3}{2}\right) - 6 = 3 - 6 = -3 \quad (\text{não é zero}) \] 3. Para \( b = 0 \): \[ 2(0) - 6 = -6 \quad (\text{não é zero}) \] 4. Para \( b = -\frac{3}{2} \): \[ 2\left(-\frac{3}{2}\right) - 6 = -3 - 6 = -9 \quad (\text{não é zero}) \] 5. Para \( b = -6 \): \[ 2(-6) - 6 = -12 - 6 = -18 \quad (\text{não é zero}) \] Nenhuma das opções fornecidas resulta em uma parte imaginária igual a zero. Portanto, parece que a única solução correta que encontramos foi \( b = 3 \), que não está entre as opções. Se a questão pede um valor que torne \( z \) real, a resposta correta não está nas opções fornecidas.