12) (UEFS-00) O valor de $$ \mathrm{b} \in \mathrm{R} $$ para que o número $$ \mathrm{z}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{3+\mathrm{bi}} $$ seja real e : a) 6 b) $$ 3 / 2 $$ c) 0 d) $$ -3 / 2 $$ e) -6

Question

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Para que o número complexo $$ z = \frac{1 - 2i}{3 + bi} $$ seja real, o denominador deve ser tal que a parte imaginária do resultado seja zero. Para isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

O conjugado de $$ 3 + bi $$ é $$ 3 - bi $$. Assim, temos:

$$
z = \frac{(1 - 2i)(3 - bi)}{(3 + bi)(3 - bi)}
$$

Calculando o denominador:

$$
(3 + bi)(3 - bi) = 3^2 - (bi)^2 = 9 + b^2
$$

Agora, calculando o numerador:

$$
(1 - 2i)(3 - bi) = 3 - bi - 6i + 2bi = 3 + (2b - 6)i
$$

Portanto, podemos reescrever $$ z $$:

$$
z = \frac{3 + (2b - 6)i}{9 + b^2}
$$

Para que $$ z $$ seja real, a parte imaginária deve ser zero:

$$
2b - 6 = 0
$$

Resolvendo essa equação:

$$
2b = 6 \implies b = 3
$$

No entanto, essa opção não está entre as alternativas. Vamos verificar se há algum erro ou se precisamos considerar a parte real.

A parte real de $$ z $$ é:

$$
\text{Parte real} = \frac{3}{9 + b^2}
$$

A parte imaginária é:

$$
\text{Parte imaginária} = \frac{2b - 6}{9 + b^2}
$$

Para que $$ z $$ seja real, a parte imaginária deve ser zero, o que já foi resolvido. Portanto, a única solução que encontramos é $$ b = 3 $$.

Entretanto, como essa opção não está disponível, vamos verificar as opções dadas:

a) 6  
b) $$ \frac{3}{2} $$  
c) 0  
d) $$ -\frac{3}{2} $$  
e) -6

Vamos testar cada uma dessas opções para ver se alguma delas faz a parte imaginária igual a zero.

1. Para $$ b = 6 $$:
   $$
   2(6) - 6 = 12 - 6 = 6 \quad (\text{não é zero})
   $$

2. Para $$ b = \frac{3}{2} $$:
   $$
   2\left(\frac{3}{2}\right) - 6 = 3 - 6 = -3 \quad (\text{não é zero})
   $$

3. Para $$ b = 0 $$:
   $$
   2(0) - 6 = -6 \quad (\text{não é zero})
   $$

4. Para $$ b = -\frac{3}{2} $$:
   $$
   2\left(-\frac{3}{2}\right) - 6 = -3 - 6 = -9 \quad (\text{não é zero})
   $$

5. Para $$ b = -6 $$:
   $$
   2(-6) - 6 = -12 - 6 = -18 \quad (\text{não é zero})
   $$

Nenhuma das opções fornecidas resulta em uma parte imaginária igual a zero. Portanto, parece que a única solução correta que encontramos foi $$ b = 3 $$, que não está entre as opções.

Se a questão pede um valor que torne $$ z $$ real, a resposta correta não está nas opções fornecidas.
A solução correta é $$ b = 3 $$, mas essa opção não está entre as alternativas fornecidas.

(UEFS-00) O valor de para que o número seja real e :
a) 6
b)
c) 0
d)
e) -6

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