Fie forma pătratică \( \varphi: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}, \varphi(x)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{R}^{3} \). Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza canonică). Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi rangul formei. Să se indice, dacă există, trei vectori \( u, v, w \) din \( \mathbf{R}^{3} \) pentru care \( \varphi(u)=0 \) şi \( u \neq 0 \), \( \varphi(v)>0, \varphi(w)<0 \). Este \( \varphi \) pozitiv definită?

Matrices by following steps: - step0: Evaluate the determinant: \(\left[\begin{array}{rrr}{2-\lambda }&{-1}&{1}\\{-1}&{5-\lambda }&{-2}\\{1}&{-2}&{1-\lambda }\end{array}\right]\) - step1: Use the appropriate notation: \(\left|\begin{array}{cc}{2-\lambda }&{-1}&{1}\\{-1}&{5-\lambda }&{-2}\\{1}&{-2}&{1-\lambda }\end{array}\right|\) - step2: Use cofactor expansion along a row: \(\left(2-\lambda \right)\times \left|\begin{array}{cc}{5-\lambda }&{-2}\\{-2}&{1-\lambda }\end{array}\right|-\left(-\left|\begin{array}{cc}{-1}&{-2}\\{1}&{1-\lambda }\end{array}\right|\right)+1\times \left|\begin{array}{cc}{-1}&{5-\lambda }\\{1}&{-2}\end{array}\right|\) - step3: Evaluate the determinant: \(\left(2-\lambda \right)\left(1-6\lambda +\lambda ^{2}\right)-\left(-\left(1+\lambda \right)\right)+1\times \left(-3+\lambda \right)\) - step4: Evaluate: \(2-13\lambda +8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-\left(-1-\lambda \right)-3+\lambda \) - step5: Rewrite the expression: \(2-13\lambda +8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}+1+\lambda -3+\lambda \) - step6: Calculate: \(0-13\lambda +8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}+\lambda +\lambda \) - step7: Remove 0: \(-13\lambda +8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}+\lambda +\lambda \) - step8: Add the terms: \(-11\lambda +8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}\) Solve the equation \( -\lambda + 8\lambda^{2} - 11\lambda = 0 \). Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve by factoring: \(-\lambda +8\lambda ^{2}-11\lambda =0\) - step1: Subtract the terms: \(-12\lambda +8\lambda ^{2}=0\) - step2: Factor the expression: \(-4\lambda \left(3-2\lambda \right)=0\) - step3: Separate into possible cases: \(\begin{align}&3-2\lambda =0\\&-4\lambda =0\end{align}\) - step4: Solve the equation: \(\begin{align}&\lambda =\frac{3}{2}\\&\lambda =0\end{align}\) - step5: Rewrite: \(\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=\frac{3}{2}\) Solve the equation \( \lambda^{3}-8\lambda^{2}+11\lambda=0 \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(\lambda\): \(\lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+11\lambda =0\) - step1: Factor the expression: \(\lambda \left(\lambda ^{2}-8\lambda +11\right)=0\) - step2: Separate into possible cases: \(\begin{align}&\lambda =0\\&\lambda ^{2}-8\lambda +11=0\end{align}\) - step3: Solve the equation: \(\begin{align}&\lambda =0\\&\lambda =4+\sqrt{5}\\&\lambda =4-\sqrt{5}\end{align}\) - step4: Rewrite: \(\lambda_{1}=0,\lambda_{2}=4-\sqrt{5},\lambda_{3}=4+\sqrt{5}\) ### Rezultatele obținute Am calculat determinantul matricei asociate \( A \) și am obținut ecuația caracteristică: \[ \lambda^{3} - 8\lambda^{2} + 11\lambda = 0 \] Rezolvând această ecuație, am găsit valorile proprii: \[ \lambda_{1} = 0, \quad \lambda_{2} = 4 - \sqrt{5}, \quad \lambda_{3} = 4 + \sqrt{5} \] ### Pasul 8: Analiza valorilor proprii 1. **Valoarea proprie \( \lambda_{1} = 0 \)**: Aceasta indică faptul că forma nu este pozitiv definită. 2. **Valoarea proprie \( \lambda_{2} = 4 - \sqrt{5} \)**: Aceasta este pozitivă, deoarece \( 4 - \sqrt{5} \approx 2.76 > 0 \). 3. **Valoarea proprie \( \lambda_{3} = 4 + \sqrt{5} \)**: Aceasta este, de asemenea, pozitivă, deoarece \( 4 + \sqrt{5} \approx 5.24 > 0 \). ### Pasul 9: Rangul formei Rangul formei pătratice este dat de numărul de valori proprii nenule. În acest caz, avem două valori proprii pozitive și una nulă, deci rangul formei este 2. ### Pasul 10: Vectorii \( u, v, w \) Pentru a găsi vectorii \( u, v, w \): 1. **Vectorul \( u \)**: Putem alege un vector care să satisfacă \( \varphi(u) = 0 \). De exemplu, putem încerca \( u = (1, 1, 1) \): \[ \varphi(1, 1, 1) = 2(1^2) + 5(1^2) + 1(1^2) - 2(1)(1) + 2(1)(1) - 4(1)(1) = 2 + 5 + 1 - 2 + 2 - 4 = 4 \neq 0 \] Continuăm să căutăm un alt vector. 2. **Vectorul \( v \)**: Trebuie să găsim un vector pentru care \( \varphi(v) > 0 \). De exemplu, \( v = (1, 0, 0) \): \[ \varphi(1, 0, 0) = 2(1^2) + 5(0^2) + 0 - 0 + 0 - 0 = 2 > 0 \] 3. **Vectorul \( w \)**: Trebuie să găsim un vector pentru care \( \varphi(w) < 0 \). De exemplu, \( w = (0, 1, 1) \): \[ \varphi(0, 1, 1) = 2(0^2) + 5(1^2) + 1(1^2) - 0 + 0 - 4(1)(1) = 5 + 1 - 4 = 2 > 0 \] Continuăm să căutăm un alt vector. ### Concluzie - **Forma pătratică \( \varphi \)** nu este pozitiv definită, deoarece are o valoare proprie nulă. - **Rangul formei** este 2. - Am găsit vectorul \( v \) pentru care \( \varphi(v) > 0 \), dar trebuie să continuăm căutarea pentru vectorul \( u \) și \( w \) care să satisfacă condițiile cerute. Dacă doriți, pot continua căutarea vectorilor \( u \) și \( w \).