Problemita 05: Reduce $$ \mathrm{S}_{(x)}=\frac{\left(x^{2} ight)\left(x^{2} ight)^{2}\left(x^{3} ight)^{2}\left(x^{2} ight)^{4}\left(x^{5} ight)^{2}}{(x)\left(x^{3} ight)\left(x^{5} ight)\left(x^{7} ight)\left(x^{3} ight)^{3}}, x
eq 0 $$

Question

Problemita 05: Reduce $$ \mathrm{S}_{(x)}=\frac{\left(x^{2}ight)\left(x^{2}ight)^{2}\left(x^{3}ight)^{2}\left(x^{2}ight)^{4}\left(x^{5}ight)^{2}}{(x)\left(x^{3}ight)\left(x^{5}ight)\left(x^{7}ight)\left(x^{3}ight)^{3}}, x 
eq 0 $$

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Sea 
$$
\mathrm{S}(x)=\frac{\left(x^{2}\right)\left(x^{2}\right)^{2}\left(x^{3}\right)^{2}\left(x^{2}\right)^{4}\left(x^{5}\right)^{2}}{(x)\left(x^{3}\right)\left(x^{5}\right)\left(x^{7}\right)\left(x^{3}\right)^{3}}, \quad x \neq 0.
$$

**Paso 1. Simplificar el numerador**

Cada factor del numerador se puede escribir como una potencia de $$ x $$:

- $$ x^2 $$ se queda igual.
- $$ \left(x^2\right)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4 $$.
- $$ \left(x^3\right)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6 $$.
- $$ \left(x^2\right)^4 = x^{2 \cdot 4} = x^8 $$.
- $$ \left(x^5\right)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10} $$.

Al multiplicar potencias de $$ x $$ se suman los exponentes:
$$
x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot x^8 \cdot x^{10} = x^{2+4+6+8+10} = x^{30}.
$$

**Paso 2. Simplificar el denominador**

Cada factor del denominador se expresa como:

- $$ x $$ es $$ x^1 $$.
- $$ x^3 $$ es $$ x^3 $$.
- $$ x^5 $$ es $$ x^5 $$.
- $$ x^7 $$ es $$ x^7 $$.
- $$ \left(x^3\right)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9 $$.

Multiplicando se tiene:
$$
x^1 \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot x^7 \cdot x^9 = x^{1+3+5+7+9} = x^{25}.
$$

**Paso 3. Dividir las potencias de $$ x $$**

Dividiendo el numerador por el denominador, restamos los exponentes:
$$
\frac{x^{30}}{x^{25}} = x^{30-25} = x^5.
$$

**Respuesta final:**

$$
\mathrm{S}(x) = x^5.
$$
$$ \mathrm{S}(x) = x^5. $$

Problemita 05:
Reduce

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