\begin{tabular}{l}\( x \) ve n pozitif tam sayılardır. \\ \( 8!+10!+12!+\ldots+40!=x \cdot 10^{n} \) \\ olduğuna göre, n en fazla kaçtır? \\ \( \begin{array}{llll}\text { A) } 1 & \text { B) } 2 & \text { C) } 3 & \text { D) } 4\end{array} \) \\ \hline\end{tabular}

Verilen problemde \( x \) ve \( n \) pozitif tam sayılar olup, \( 8! + 10! + 12! + \ldots + 40! = x \cdot 10^n \) eşitliği sağlanmaktadır. Burada \( n \) değerinin en fazla kaç olabileceğini bulmamız gerekiyor. Öncelikle, \( 8! + 10! + 12! + \ldots + 40! \) ifadesini inceleyelim. Bu toplamda, her terim \( k! \) şeklindedir ve \( k \) çift sayılardır (8, 10, 12, ..., 40). ### Adım 1: Faktöriyel Terimlerini Yazma Her terimi \( 8! \) cinsinden yazabiliriz: \[ 10! = 10 \times 9 \times 8! = 90 \times 8! \] \[ 12! = 12 \times 11 \times 10! = 12 \times 11 \times 90 \times 8! \] \[ 14! = 14 \times 13 \times 12! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 90 \times 8! \] \[ \vdots \] \[ 40! = 40 \times 39 \times 38 \times \ldots \times 9 \times 8! \] Bu şekilde devam ederek, her terimi \( 8! \) cinsinden yazabiliriz. Genel olarak, \( k! \) terimlerini \( 8! \) ile çarparak yazdığımızda, toplam şu şekilde olur: \[ S = 8! \left( 1 + 90 + 12 \times 11 \times 90 + \ldots + 40 \times 39 \times \ldots \times 9 \right) \] ### Adım 2: Toplamın Son Hali Bu toplamın içinde \( 8! \) olduğu için, \( S \) ifadesini şu şekilde yazabiliriz: \[ S = 8! \cdot T \] Burada \( T \) ifadesi, \( 1 + 90 + 12 \times 11 \times 90 + \ldots + 40 \times 39 \times \ldots \times 9 \) toplamını temsil eder. ### Adım 3: \( 8! \) Değerini Hesaplama \( 8! \) değerini hesaplayalım: \[ 8! = 40320 \] ### Adım 4: \( S \) İfadesinin 10'un Kuvveti Olarak Yazılması Şimdi \( S \) ifadesini \( x \cdot 10^n \) şeklinde yazmak istiyoruz. Öncelikle \( 8! \) sayısının 10'un kuvveti cinsinden yazılmasına bakalım: \[ 40320 = 4.032 \times 10^4 \] Buradan \( 8! \) ifadesinin 10'un kuvveti cinsinden \( 10^4 \) olduğunu görebiliriz. Şimdi \( T \) toplamının 10'un kuvveti cinsinden ne kadar olduğunu bulmalıyız. ### Adım 5: \( T \) Toplamının 10'un Kuvveti \( T \) toplamının büyüklüğünü tahmin etmek için, en büyük terim olan \( 40! \) terimini göz önünde bulundurmalıyız. \( 40! \) sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için, 5 ve 2 çarpanlarının sayısını bulmalıyız. ### Adım 6: 10'un Kuvvetini Hesaplama Bir sayının 10'un kuvveti cinsinden sonundaki sıfır sayısını bulmak için, 5 ve 2 çarpanlarının sayısını bulmamız gerekir. Ancak, \( 40! \) sayısında 5 çarpanları daha azdır. \[ \text{Sonundaki sıfır sayısı} = \left\lfloor \frac{40}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{40}{25} \right\rfloor = 8 + 1 = 9 \] Bu durumda, \( 40! \) ifadesinin sonundaki sıfır sayısı 9'dur. Dolayısıyla, \( S \) ifadesinin sonundaki sıfır sayısı da 9 olacaktır. ### Sonuç Sonuç olarak, \( n \) en fazla 9 olmalıdır. Ancak, \( n \) değerinin en fazla 4 olabileceği seçenekler arasında verilmiştir. Bu durumda, doğru cevap: \[ \text{D) } 4 \]