Según la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se mantiene fija, entonces el producto de la presión \( P \) y el volumen \( V \) es constante. Suponga que, para cierto gas, \( P V=800 \), donde \( P \) se mide en libras por pulgada cuadrada y \( V \) en pulgadas cúbicas. (a) Encuentre la razón promedio de cambio de \( P \) cuando \( V \) se incrementa de 200 pulg \( ^{3} \) a 250 pulg \( { }^{3} \). (b) Exprese \( V \) como función de \( P \) y demuestre que la razón instantánea de cambio de \( V \) con respecto a \( P \) es inversamente proporcional al cuadrado de esta última.

Para el inciso (a), utilizando la relación \( P V = 800 \) y substituyendo \( V \) por sus valores, tenemos: 1. Cuando \( V = 200 \): \[ P = \frac{800}{200} = 4 \, \text{psic} \] 2. Cuando \( V = 250 \): \[ P = \frac{800}{250} = 3.2 \, \text{psic} \] La razón promedio de cambio de \( P \) cuando \( V \) cambia de 200 a 250 se calcula como: \[ \text{Razón} = \frac{P_2 - P_1}{V_2 - V_1} = \frac{3.2 - 4}{250 - 200} = \frac{-0.8}{50} = -0.016 \, \text{psic/pulg}^3 \] Para el inciso (b), primero expresamos \( V \) en función de \( P \): \[ V = \frac{800}{P} \] Ahora, derivamos \( V \) con respecto a \( P \): \[ \frac{dV}{dP} = -\frac{800}{P^2} \] Esto muestra que la razón instantánea de cambio de \( V \) con respecto a \( P \) es inversamente proporcional al cuadrado de \( P \), ya que: \[ \frac{dV}{dP} \propto -\frac{1}{P^2} \] Lo que confirma la relación deseada.