Si $$ x=\frac{3^{5}+3^{8}+3^{15}}{3^{7}+3^{10}+3^{17}}+\frac{2}{9} $$ $$ y=\frac{27}{3^{4}} $$ calcula $$ \left[\left(x y^{-1}\right)^{3 x}\right]^{3 y} $$

Question

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1. Calculamos $$ x $$:

$$
   x=\frac{3^{5}+3^{8}+3^{15}}{3^{7}+3^{10}+3^{17}}+\frac{2}{9}
   $$

Observamos que en el numerador se puede factorizar $$ 3^5 $$:

$$
   3^5+3^8+3^{15} = 3^5 \left(1+3^3+3^{10}\right)
   $$

Y en el denominador se factoriza $$ 3^7 $$:

$$
   3^7+3^{10}+3^{17} = 3^7 \left(1+3^3+3^{10}\right)
   $$

Luego, la fracción se simplifica:

$$
   \frac{3^5\left(1+3^3+3^{10}\right)}{3^7\left(1+3^3+3^{10}\right)} = 3^{5-7} = 3^{-2} = \frac{1}{9}
   $$

Sumando:

$$
   x = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
   $$

2. Calculamos $$ y $$:

$$
   y=\frac{27}{3^{4}}
   $$

Dado que $$ 27=3^3 $$:

$$
   y = \frac{3^3}{3^4} = 3^{3-4} = 3^{-1} = \frac{1}{3}
   $$

3. Evaluamos $$ x y^{-1} $$:

$$
   x \, y^{-1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = 1
   $$

4. Calculamos la expresión final:

Se tiene:

$$
   \left[\left(x y^{-1}\right)^{3 x}\right]^{3 y} = \left[1^{3x}\right]^{3y}
   $$

Como $$ 1 $$ elevado a cualquier exponente es $$ 1 $$:

$$
   1^{3x} = 1 \quad \text{y luego} \quad 1^{3y} = 1
   $$

Por lo tanto, el resultado es:

$$
   1
   $$
El resultado es 1.

Si

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