5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами: $$ \mathrm{z}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{xy}+4 \mathrm{y}^{2}-\mathrm{x}, \quad 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-6 \leq 0, x \geq 0, y \geq 0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $$ z = x^{2} - xy + 4y^{2} - x $$ в области, заданной неравенствами:
$$
2x + y \leq 6, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0,
$$
пройдем следующими шагами:

### 1. Поиск критических точек внутри области

Сначала найдем критические точки функции $$ z $$ внутри области, где выполняются все неравенства.

Вычислим частные производные функции $$ z $$:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x - y - 1,
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -x + 8y.
$$

Приравняем частные производные к нулю:

$$
2x - y - 1 = 0 \quad \text{(1)},
$$
$$
-x + 8y = 0 \quad \text{(2)}.
$$

Из уравнения (2):

$$
x = 8y.
$$

Подставим $$ x = 8y $$ в уравнение (1):

$$
2(8y) - y - 1 = 0 \Rightarrow 16y - y - 1 = 0 \Rightarrow 15y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{15}.
$$

Тогда:

$$
x = 8 \cdot \frac{1}{15} = \frac{8}{15}.
$$

Проверим, лежит ли эта точка в области:

$$
2 \cdot \frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{16}{15} + \frac{1}{15} = \frac{17}{15} \leq 6,
$$
$$
x = \frac{8}{15} \geq 0, \quad y = \frac{1}{15} \geq 0.
$$

Точка $$\left( \frac{8}{15}, \frac{1}{15} \right)$$ принадлежит области.

Вычислим значение функции в этой точке:

$$
z = \left( \frac{8}{15} \right)^2 - \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{15} + 4 \left( \frac{1}{15} \right)^2 - \frac{8}{15}.
$$
$$
z = \frac{64}{225} - \frac{8}{225} + \frac{4}{225} - \frac{120}{225} = \frac{64 - 8 + 4 - 120}{225} = \frac{-60}{225} = -\frac{4}{15}.
$$

### 2. Исследование на границах области

Необходимо исследовать функцию на границах области, то есть:

- **Грань 1:** $$ 2x + y = 6 $$, $$ x \geq 0 $$, $$ y \geq 0 $$.
- **Грань 2:** $$ x = 0 $$, $$ y \geq 0 $$, $$ 2 \cdot 0 + y \leq 6 \Rightarrow y \leq 6 $$.
- **Грань 3:** $$ y = 0 $$, $$ x \geq 0 $$, $$ 2x + 0 \leq 6 \Rightarrow x \leq 3 $$.

#### Грань 1: $$ 2x + y = 6 $$

Выразим $$ y = 6 - 2x $$, $$ 0 \leq x \leq 3 $$.

Подставим в функцию:

$$
z = x^{2} - x(6 - 2x) + 4(6 - 2x)^{2} - x = x^{2} - 6x + 2x^{2} + 4(36 - 24x + 4x^{2}) - x.
$$
$$
z = x^{2} - 6x + 2x^{2} + 144 - 96x + 16x^{2} - x = 19x^{2} - 103x + 144.
$$

Найдем экстремумы на отрезке $$ 0 \leq x \leq 3 $$.

Возьмем производную по $$ x $$:

$$
\frac{dz}{dx} = 38x - 103.
$$

Приравняем к нулю:

$$
38x - 103 = 0 \Rightarrow x = \frac{103}{38} \approx 2.71,
$$

что находится в пределах $$ [0, 3] $$.

Вычислим $$ z $$ при $$ x = \frac{103}{38} $$:

$$
z = 19 \left( \frac{103}{38} \right)^2 - 103 \cdot \frac{103}{38} + 144.
$$

Упрощая, получим:

$$
z \approx 19 \cdot 7.35 - 103 \cdot 2.71 + 144 \approx 139.65 - 278.13 + 144 \approx 5.52.
$$

Также вычислим значения на концах отрезка:

- При $$ x = 0 $$:

$$
y = 6 - 2 \cdot 0 = 6,
$$
$$
z = 0^2 - 0 \cdot 6 + 4 \cdot 6^2 - 0 = 144.
$$

- При $$ x = 3 $$:

$$
y = 6 - 2 \cdot 3 = 0,
$$
$$
z = 3^2 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0^2 - 3 = 9 - 3 = 6.
$$

Таким образом, на грани 1 функция принимает значения от примерно $$ 5.52 $$ до $$ 144 $$.

#### Грань 2: $$ x = 0 $$

При $$ x = 0 $$, $$ y \leq 6 $$.

Функция:

$$
z = 0^2 - 0 \cdot y + 4y^2 - 0 = 4y^2.
$$

На отрезке $$ 0 \leq y \leq 6 $$:

- При $$ y = 0 $$:

$$
z = 0.
$$

- При $$ y = 6 $$:

$$
z = 4 \cdot 36 = 144.
$$

#### Грань 3: $$ y = 0 $$

При $$ y = 0 $$, $$ 2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3 $$.

Функция:

$$
z = x^2 - x \cdot 0 + 4 \cdot 0^2 - x = x^2 - x.
$$

На отрезке $$ 0 \leq x \leq 3 $$:

Найдем экстремумы:

$$
\frac{dz}{dx} = 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}.
$$

Вычислим $$ z $$:

- При $$ x = \frac{1}{2} $$:

$$
z = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}.
$$

- При $$ x = 0 $$:

$$
z = 0.
$$

- При $$ x = 3 $$:

$$
z = 9 - 3 = 6.
$$

Таким образом, на грани 3 функция принимает значения от $$ -\frac{1}{4} $$ до $$ 6 $$.

### 3. Сравнение найденных значений

Соберем все найденные значения $$ z $$:

- Внутри области: $$ z = -\frac{4}{15} \approx -0.267 $$.
- Грань 1: от $$ \approx 5.52 $$ до $$ 144 $$.
- Грань 2: от $$ 0 $$ до $$ 144 $$.
- Грань 3: от $$ -\frac{1}{4} $$ до $$ 6 $$.

**Наименьшее значение** функции достигается на грани 3 при $$ x = \frac{1}{2} $$, $$ y = 0 $$:

$$
z_{\text{min}} = -\frac{1}{4}.
$$

**Наибольшее значение** функции достигается на граните 1 и грани 2 при точках $$ (0,6) $$:

$$
z_{\text{max}} = 144.
$$

### Ответ:

Наименьшее значение функции равно $$ -\dfrac{1}{4} $$ и достигается при $$ x = \dfrac{1}{2} $$, $$ y = 0 $$. Наибольшее значение функции равно $$ 144 $$ и достигается при $$ x = 0 $$, $$ y = 6 $$.
Наименьшее значение функции $$ z = x^{2} - xy + 4y^{2} - x $$ в заданной области равно $$ -\frac{1}{4} $$ и достигается при $$ x = \frac{1}{2} $$, $$ y = 0 $$. Наибольшее значение функции равно $$ 144 $$ и достигается при $$ x = 0 $$, $$ y = 6 $$.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами: \( \mathrm{z}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{xy}+4 \mathrm{y}^{2}-\mathrm{x}, \quad 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-6 \leq 0, x \geq 0, y \geq 0 \)

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions