Exercice 5: 1. On considère l'algorithme ci-contre a. On entre 7 pour $$ x_{\mathrm{B}} $$ et 17 pour $$ y_{\mathrm{B}} $$. Quelle est la valeur affichée en sortie? $$ \sqrt{(x B+1)^{2}+(y B-2)^{2}} $$ Variables Entrée Traitement Sortie $$ x_{\mathrm{B}}, y_{\mathrm{B}} $$ et $$ d $$ sont des nombres reels Demander les valeurs de $$ x_{8} $$ et $$ y_{B} $$ Affecter à $$ d $$ la valeur $$ \sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}+1\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-2\right)^{2}} $$ Afficher $$ d $$ pour $$ x B=7 $$ et $$ y B=17 $$ cela donne 17 b. Quel est le rôle de cet algorithme ? 2. On se place dans un repère orthonormé et on considère le cercle $$ (\mathcal{C}) $$ de centre $$ \mathrm{A}(-1 ; 2) $$ et de rayon 5 . a. Le point $$ E $$ de coordonnées $$ (7 ; 17) $$ appartient-il au cercle ( $$ \mathcal{C} $$ ) ? b. Modifier l'algorithme précédent pour qu'il affiche «oui» si le point $$ \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}}\right) $$ appartient au cercle ( $$ \mathcal{C} $$ ) et « non» si le point B n'appartient pas à ce cercle. Exercice 6: Un automobiliste roule d'abord à $$ 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$ pendant deux heures, puis roule à $$ 120 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$. On veut élaborer le programme d'une fonction retournant la distance qu'il a parcourue, en kilomètres, au bout d'un temps t exprimé en heures. 1. Calculer la distance parcourue dans chacun des cas suivants : a. $$ \mathrm{t}=1,5 \mathrm{~h} $$ b. $$ \mathrm{t}=3,5 \mathrm{~h} $$

Question

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**Exercice 5:**

1. **Algorithme donné**

a. **Calcul de la valeur affichée en sortie lorsque $$ x_{\mathrm{B}} = 7 $$ et $$ y_{\mathrm{B}} = 17 $$:**

L'algorithme calcule la distance $$ d $$ entre le point $$ B(x_{\mathrm{B}}, y_{\mathrm{B}}) $$ et le point $$ A(-1, 2) $$ à l'aide de la formule :
   $$
   d = \sqrt{(x_{\mathrm{B}} + 1)^2 + (y_{\mathrm{B}} - 2)^2}
   $$
   
   En substituant les valeurs données :
   $$
   d = \sqrt{(7 + 1)^2 + (17 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17
   $$
   
   **Valeur affichée en sortie :** 17

b. **Rôle de cet algorithme :**

Cet algorithme calcule la distance euclidienne entre deux points dans un plan cartésien. Plus précisément, il détermine la distance entre le point $$ B(x_{\mathrm{B}}, y_{\mathrm{B}}) $$ et le point fixe $$ A(-1, 2) $$.

2. **Étude du cercle $$ (\mathcal{C}) $$ de centre $$ A(-1, 2) $$ et de rayon 5**

a. **Appartenance du point $$ E(7; 17) $$ au cercle $$ (\mathcal{C}) $$ :**

Calculons la distance entre $$ E(7, 17) $$ et $$ A(-1, 2) $$ :
   $$
   d = \sqrt{(7 + 1)^2 + (17 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17
   $$
   
   Comme $$ d = 17 $$ est supérieur au rayon du cercle $$ 5 $$, le point $$ E $$ **n'appartient pas** au cercle $$ (\mathcal{C}) $$.

b. **Modification de l'algorithme pour vérifier l'appartenance au cercle $$ (\mathcal{C}) $$ :**

**Algorithme modifié :**

```
   Variables :
       xB, yB : nombres réels
       d : nombre réel

Début
       Demander les valeurs de xB et yB
       Calculer d ← √((xB + 1)^2 + (yB - 2)^2)
       Si d = 5 alors
           Afficher "oui"
       Sinon
           Afficher "non"
       FinSi
   Fin
   ```

**Explications :**
   - Après avoir calculé la distance $$ d $$ entre le point $$ B $$ et le centre $$ A $$, l'algorithme vérifie si $$ d $$ est égal au rayon du cercle $$ 5 $$.
   - Si c'est le cas, le point $$ B $$ appartient au cercle et l'algorithme affiche « oui ».
   - Sinon, il affiche « non ».

**Exercice 6:**

**Calcul de la distance parcourue par l'automobiliste en fonction du temps $$ t $$:**

L'automobiliste effectue deux segments de trajet :
- **Premier segment :** 2 heures à $$ 90 $$ km/h.
- **Deuxième segment :** À partir de la 3ème heure, il roule à $$ 120 $$ km/h.

La distance totale $$ D(t) $$ dépend du temps $$ t $$ passé.

1. **Cas a : $$ t = 1,5 $$ heures**

Étant donné que $$ 1,5 $$ heures est inférieur à $$ 2 $$ heures, l'automobiliste roule uniquement à $$ 90 $$ km/h durant toute la durée.
   $$
   D(1,5) = 90 \times 1,5 = 135 \text{ km}
   $$
   
   **Distance parcourue : 135 km**

2. **Cas b : $$ t = 3,5 $$ heures**

- **Premier segment (2 heures) :**
     $$
     D_1 = 90 \times 2 = 180 \text{ km}
     $$
   
   - **Deuxième segment (3,5 - 2 = 1,5 heures) :**
     $$
     D_2 = 120 \times 1,5 = 180 \text{ km}
     $$
   
   - **Distance totale :**
     $$
     D(3,5) = D_1 + D_2 = 180 + 180 = 360 \text{ km}
     $$
   
   **Distance parcourue : 360 km**

**Note :** Pour généraliser le calcul de la distance parcourue en fonction du temps $$ t $$, on peut définir la fonction suivante :

$$
D(t) =
\begin{cases}
90 \times t & \text{si } t \leq 2 \
180 + 120 \times (t - 2) & \text{si } t > 2
\end{cases}
$$

Cela permet de calculer la distance en fonction de n'importe quelle valeur de $$ t $$.
**Exercice 5:** 1. **Algorithme donné** a. **Calcul de la valeur affichée en sortie lorsque $$ x_{\mathrm{B}} = 7 $$ et $$ y_{\mathrm{B}} = 17 $$:** $$ d = \sqrt{(7 + 1)^2 + (17 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $$ **Valeur affichée en sortie :** 17 b. **Rôle de cet algorithme :** Cet algorithme calcule la distance entre deux points dans un plan cartésien. 2. **Étude du cercle $$ (\mathcal{C}) $$ de centre $$ A(-1, 2) $$ et de rayon 5** a. **Appartenance du point $$ E(7; 17) $$ au cercle $$ (\mathcal{C}) $$:** $$ d = \sqrt{(7 + 1)^2 + (17 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $$ Comme $$ d = 17 > 5 $$, le point $$ E $$ **n'appartient pas** au cercle $$ (\mathcal{C}) $$. b. **Modification de l'algorithme pour vérifier l'appartenance :** **Algorithme modifié :** ``` Demander xB et yB Calculer d = √((xB + 1)^2 + (yB - 2)^2) Si d = 5 alors Afficher "oui" Sinon Afficher "non" FinSi ``` **Exercice 6:** **Calcul de la distance parcourue par l'automobiliste en fonction du temps $$ t $$:** 1. **Cas a : $$ t = 1,5 $$ heures** $$ D(1,5) = 90 \times 1,5 = 135 \text{ km} $$ **Distance parcourue : 135 km** 2. **Cas b : $$ t = 3,5 $$ heures** $$ D(3,5) = 180 + 120 \times 1,5 = 360 \text{ km} $$ **Distance parcourue : 360 km** **Note :** La distance totale $$ D(t) $$ peut être définie par la fonction : $$ D(t) = \begin{cases} 90t & \text{si } t \leq 2 \ 180 + 120(t - 2) & \text{si } t > 2 \end{cases} $$ Cela permet de calculer la distance pour n'importe quelle valeur de $$ t $$.

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