Halle el dominio y rango de la función: $$ f(x)=\left|2 x^{2}-8 x\right|-8 $$

Question

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Para encontrar el dominio y el rango de la función $$ f(x) = |2x^2 - 8x| - 8 $$, primero analizaremos el dominio.

### Dominio
La función $$ f(x) $$ está definida para todos los valores de $$ x $$ porque la expresión dentro del valor absoluto, $$ 2x^2 - 8x $$, es un polinomio, y los polinomios están definidos para todos los números reales. Por lo tanto, el dominio de $$ f(x) $$ es:

$$
\text{Dominio: } (-\infty, \infty)
$$

### Rango
Ahora, para encontrar el rango, primero analizamos la expresión $$ 2x^2 - 8x $$.

1. **Encontrar los puntos críticos**: Para esto, derivamos la función $$ g(x) = 2x^2 - 8x $$ y encontramos sus extremos.

$$
   g'(x) = 4x - 8
   $$

Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:

$$
   4x - 8 = 0 \implies x = 2
   $$

2. **Evaluar $$ g(x) $$ en el punto crítico**:

$$
   g(2) = 2(2^2) - 8(2) = 8 - 16 = -8
   $$

3. **Comportamiento en los extremos**: Como $$ g(x) $$ es una parábola que abre hacia arriba (el coeficiente de $$ x^2 $$ es positivo), el valor mínimo de $$ g(x) $$ es $$ -8 $$ (en $$ x = 2 $$) y $$ g(x) $$ tiende a $$ +\infty $$ cuando $$ x $$ tiende a $$ \pm\infty $$.

4. **Valor absoluto**: Ahora, al aplicar el valor absoluto:

$$
   |g(x)| = |2x^2 - 8x|
   $$

El valor mínimo de $$ |g(x)| $$ es $$ 0 $$ (cuando $$ g(x) = 0 $$), y el valor mínimo de $$ g(x) $$ es $$ -8 $$, por lo que $$ |g(x)| $$ alcanzará su mínimo en $$ 0 $$ y su máximo en $$ +\infty $$.

5. **Sustituyendo en $$ f(x) $$**:

$$
   f(x) = |g(x)| - 8
   $$

El mínimo de $$ |g(x)| $$ es $$ 0 $$, por lo que:

$$
   f(x) \text{ tiene un mínimo de } 0 - 8 = -8
   $$

Y como $$ |g(x)| $$ puede crecer indefinidamente, $$ f(x) $$ también puede crecer indefinidamente:

$$
   f(x) \to +\infty \text{ cuando } |g(x)| \to +\infty
   $$

Por lo tanto, el rango de $$ f(x) $$ es:

$$
\text{Rango: } [-8, \infty)
$$

### Resumen
- **Dominio**: $$ (-\infty, \infty) $$
- **Rango**: $$ [-8, \infty) $$
El dominio de $$ f(x) $$ es $$ (-\infty, \infty) $$ y el rango es $$ [-8, \infty) $$.

Halle el dominio y rango de la función:

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