Halle el dominio y rango de la función: \( f(x)=\left|2 x^{2}-8 x\right|-8 \)

Para encontrar el dominio y el rango de la función \( f(x) = |2x^2 - 8x| - 8 \), primero analizaremos el dominio. ### Dominio La función \( f(x) \) está definida para todos los valores de \( x \) porque la expresión dentro del valor absoluto, \( 2x^2 - 8x \), es un polinomio, y los polinomios están definidos para todos los números reales. Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es: \[ \text{Dominio: } (-\infty, \infty) \] ### Rango Ahora, para encontrar el rango, primero analizamos la expresión \( 2x^2 - 8x \). 1. **Encontrar los puntos críticos**: Para esto, derivamos la función \( g(x) = 2x^2 - 8x \) y encontramos sus extremos. \[ g'(x) = 4x - 8 \] Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 4x - 8 = 0 \implies x = 2 \] 2. **Evaluar \( g(x) \) en el punto crítico**: \[ g(2) = 2(2^2) - 8(2) = 8 - 16 = -8 \] 3. **Comportamiento en los extremos**: Como \( g(x) \) es una parábola que abre hacia arriba (el coeficiente de \( x^2 \) es positivo), el valor mínimo de \( g(x) \) es \( -8 \) (en \( x = 2 \)) y \( g(x) \) tiende a \( +\infty \) cuando \( x \) tiende a \( \pm\infty \). 4. **Valor absoluto**: Ahora, al aplicar el valor absoluto: \[ |g(x)| = |2x^2 - 8x| \] El valor mínimo de \( |g(x)| \) es \( 0 \) (cuando \( g(x) = 0 \)), y el valor mínimo de \( g(x) \) es \( -8 \), por lo que \( |g(x)| \) alcanzará su mínimo en \( 0 \) y su máximo en \( +\infty \). 5. **Sustituyendo en \( f(x) \)**: \[ f(x) = |g(x)| - 8 \] El mínimo de \( |g(x)| \) es \( 0 \), por lo que: \[ f(x) \text{ tiene un mínimo de } 0 - 8 = -8 \] Y como \( |g(x)| \) puede crecer indefinidamente, \( f(x) \) también puede crecer indefinidamente: \[ f(x) \to +\infty \text{ cuando } |g(x)| \to +\infty \] Por lo tanto, el rango de \( f(x) \) es: \[ \text{Rango: } [-8, \infty) \] ### Resumen - **Dominio**: \( (-\infty, \infty) \) - **Rango**: \( [-8, \infty) \)