1) Presente el paso a paso para determinar su solución. 2) Utilice el software libre educativo GeoGebra para graficar la ecuación trigonométrica y para verificar que la solución del numeral anterior es correcta. D. $$ 24 \operatorname{Sen}^{2}(\boldsymbol{ heta})-2 \operatorname{Sen}(\boldsymbol{ heta})-\mathbf{1 5}=\mathbf{0} $$

Question

1) Presente el paso a paso para determinar su solución. 2) Utilice el software libre educativo GeoGebra para graficar la ecuación trigonométrica y para verificar que la solución del numeral anterior es correcta. D. $$ 24 \operatorname{Sen}^{2}(\boldsymbol{	heta})-2 \operatorname{Sen}(\boldsymbol{	heta})-\mathbf{1 5}=\mathbf{0} $$

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Para resolver la ecuación trigonométrica $$ 24 \operatorname{Sen}^{2}(\theta) - 2 \operatorname{Sen}(\theta) - 15 = 0 $$, seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Identificar la forma de la ecuación
La ecuación es una ecuación cuadrática en términos de $$ \operatorname{Sen}(\theta) $$. Podemos hacer un cambio de variable para simplificar la notación. Sea $$ x = \operatorname{Sen}(\theta) $$. Entonces, la ecuación se convierte en:

$$
24x^2 - 2x - 15 = 0
$$

### Paso 2: Aplicar la fórmula cuadrática
Para resolver la ecuación cuadrática $$ ax^2 + bx + c = 0 $$, utilizamos la fórmula:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

En nuestro caso, $$ a = 24 $$, $$ b = -2 $$, y $$ c = -15 $$.

### Paso 3: Calcular el discriminante
Primero, calculamos el discriminante $$ D = b^2 - 4ac $$:

$$
D = (-2)^2 - 4(24)(-15) = 4 + 1440 = 1444
$$

### Paso 4: Sustituir en la fórmula cuadrática
Ahora sustituimos los valores en la fórmula:

$$
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{1444}}{2(24)} = \frac{2 \pm 38}{48}
$$

### Paso 5: Calcular las soluciones
Calculamos las dos posibles soluciones para $$ x $$:

1. $$ x_1 = \frac{2 + 38}{48} = \frac{40}{48} = \frac{5}{6} $$
2. $$ x_2 = \frac{2 - 38}{48} = \frac{-36}{48} = -\frac{3}{4} $$

### Paso 6: Volver a la variable original
Recordamos que $$ x = \operatorname{Sen}(\theta) $$. Por lo tanto, tenemos:

1. $$ \operatorname{Sen}(\theta) = \frac{5}{6} $$
2. $$ \operatorname{Sen}(\theta) = -\frac{3}{4} $$

### Paso 7: Encontrar los ángulos $$ \theta $$
Para $$ \operatorname{Sen}(\theta) = \frac{5}{6} $$:
- $$ \theta = \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $$ y también en el segundo cuadrante: $$ \theta = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $$.

Para $$ \operatorname{Sen}(\theta) = -\frac{3}{4} $$:
- $$ \theta = -\arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $$ y también en el cuarto cuadrante: $$ \theta = 2\pi + \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) $$.

### Paso 8: Soluciones generales
Las soluciones generales para $$ \theta $$ son:

1. $$ \theta = \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + 2k\pi $$ y $$ \theta = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + 2k\pi $$ para $$ k \in \mathbb{Z} $$.
2. $$ \theta = -\arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi $$ y $$ \theta = 2\pi + \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) + 2k\pi $$ para $$ k \in \mathbb{Z} $$.

### Paso 9: Graficar en GeoGebra
Para verificar las soluciones, puedes usar GeoGebra siguiendo estos pasos:

1. Abre GeoGebra.
2. En la barra de entrada, escribe la función $$ f(x) = 24 \sin^2(x) - 2 \sin(x) - 15 $$.
3. Grafica la función.
4. Busca los puntos donde la gráfica cruza el eje $$ x $$ (es decir, donde $$ f(x) = 0 $$).
5. Verifica que los valores de $$ \sin(\theta) $$ que encontraste anteriormente coincidan con los puntos de intersección.

Esto te permitirá visualizar y confirmar que las soluciones encontradas son correctas.
Para resolver la ecuación $$ 24 \operatorname{Sen}^{2}(\theta) - 2 \operatorname{Sen}(\theta) - 15 = 0 $$, cambia $$ \operatorname{Sen}(\theta) $$ a $$ x $$, conviértela en una ecuación cuadrática, calcula la fórmula cuadrática, y luego encuentra los ángulos $$ \theta $$ correspondientes. Verifica las soluciones en GeoGebra.

Presente el paso a paso para determinar su solución.

Utilice el software libre educativo GeoGebra para graficar la ecuación
trigonométrica y para verificar que la solución del numeral anterior es
correcta.
D.

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