\begin{tabular}{|ll} Exercice \( n-1 \) : Résoudre les équations suivantes. \\ \( \begin{array}{ll}\text { 1) } 3(x-1)=5 x+4 & \text { 5) }-4 x(2 x+1)(-4 x+7)=0 \\ \text { 2) } 2 x(x-5)=(x-4)(2 x+1) & \text { 6) }(2 x+3)^{2}-25=0 \\ \text { 3) } \sqrt{20} x-3 \sqrt{5}=-\sqrt{5}+x & \text { 7) } 4 x^{2}-5=(2 x-\sqrt{5})^{2}= \\ \text { 4) } 3 \sqrt{3} x+2=x+\sqrt{3} & \text { 8) } \frac{x+1}{7}-\frac{2 x+3}{3}=\frac{3 x-1}{21}+\frac{x}{7}\end{array} \)\end{tabular}

**Exercice \( n-1 \) : Résolution des équations** Résolvons chacune des équations proposées une par une. --- **1) \( 3(x - 1) = 5x + 4 \)** \[ \begin{align*} 3(x - 1) &= 5x + 4 \\ 3x - 3 &= 5x + 4 \\ 3x - 5x &= 4 + 3 \\ -2x &= 7 \\ x &= -\frac{7}{2} \end{align*} \] **Solution :** \( x = -\frac{7}{2} \) --- **2) \( 2x(x - 5) = (x - 4)(2x + 1) \)** \[ \begin{align*} 2x(x - 5) &= (x - 4)(2x + 1) \\ 2x^2 - 10x &= 2x^2 + x - 8x - 4 \\ 2x^2 - 10x &= 2x^2 - 7x - 4 \\ (2x^2 - 10x) - (2x^2 - 7x - 4) &= 0 \\ -3x + 4 &= 0 \\ -3x &= -4 \\ x &= \frac{4}{3} \end{align*} \] **Solution :** \( x = \frac{4}{3} \) --- **3) \( \sqrt{20}\, x - 3\sqrt{5} = -\sqrt{5} + x \)** Simplifions les radicaux : \[ \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Ainsi, \[ 2\sqrt{5}\, x - 3\sqrt{5} = -\sqrt{5} + x \] \[ 2\sqrt{5}\, x - x = -\sqrt{5} + 3\sqrt{5} \] \[ x(2\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5} \] \[ x = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5} - 1} \] Pour rationaliser le dénominateur : \[ x = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5} - 1} \times \frac{2\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{5} + 1} = \frac{2\sqrt{5}(2\sqrt{5} + 1)}{(2\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{4 \times 5 + 2\sqrt{5}}{20 - 1} = \frac{20 + 2\sqrt{5}}{19} \] **Solution :** \( x = \frac{20 + 2\sqrt{5}}{19} \) --- **4) \( 3\sqrt{3}\, x + 2 = x + \sqrt{3} \)** \[ \begin{align*} 3\sqrt{3}\, x + 2 &= x + \sqrt{3} \\ 3\sqrt{3}\, x - x &= \sqrt{3} - 2 \\ x(3\sqrt{3} - 1) &= \sqrt{3} - 2 \\ x &= \frac{\sqrt{3} - 2}{3\sqrt{3} - 1} \end{align*} \] Rationalisons le dénominateur : \[ x = \frac{\sqrt{3} - 2}{3\sqrt{3} - 1} \times \frac{3\sqrt{3} + 1}{3\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 2)(3\sqrt{3} + 1)}{(3\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 \times 3 + \sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 2}{27 - 1} = \frac{9 - 5\sqrt{3} - 2}{26} = \frac{7 - 5\sqrt{3}}{26} \] **Solution :** \( x = \frac{7 - 5\sqrt{3}}{26} \) --- **5) \( -4x(2x + 1)(-4x + 7) = 0 \)** Nous appliquons le principe du produit nul : \[ -4x = 0 \quad \text{ou} \quad 2x + 1 = 0 \quad \text{ou} \quad -4x + 7 = 0 \] Résolvons chaque équation : 1. \( -4x = 0 \Rightarrow x = 0 \) 2. \( 2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \) 3. \( -4x + 7 = 0 \Rightarrow -4x = -7 \Rightarrow x = \frac{7}{4} \) **Solutions :** \( x = 0 \), \( x = -\frac{1}{2} \), \( x = \frac{7}{4} \) --- **6) \( (2x + 3)^2 - 25 = 0 \)** \[ \begin{align*} (2x + 3)^2 - 25 &= 0 \\ (2x + 3)^2 &= 25 \\ 2x + 3 &= \pm 5 \end{align*} \] Deux cas à considérer : 1. \( 2x + 3 = 5 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \) 2. \( 2x + 3 = -5 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4 \) **Solutions :** \( x = 1 \), \( x = -4 \) --- **7) \( 4x^2 - 5 = (2x - \sqrt{5})^2 \)** Développons le côté droit : \[ (2x - \sqrt{5})^2 = 4x^2 - 4x\sqrt{5} + 5 \] Ainsi, \[ 4x^2 - 5 = 4x^2 - 4x\sqrt{5} + 5 \] Simplifions : \[ (4x^2 - 5) - (4x^2 - 4x\sqrt{5} + 5) = 0 \\ -10 + 4x\sqrt{5} = 0 \\ 4x\sqrt{5} = 10 \\ x = \frac{10}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] **Solution :** \( x = \frac{\sqrt{5}}{2} \) --- **8) \( \frac{x + 1}{7} - \frac{2x + 3}{3} = \frac{3x - 1}{21} + \frac{x}{7} \)** Trouvons un dénominateur commun, qui est 21. \[ \begin{align*} \frac{3(x + 1)}{21} - \frac{7(2x + 3)}{21} &= \frac{3x - 1}{21} + \frac{3x}{21} \\ \frac{3x + 3 - 14x - 21}{21} &= \frac{6x - 1}{21} \\ \frac{-11x - 18}{21} &= \frac{6x - 1}{21} \end{align*} \] Puisque les dénominateurs sont égaux, on peut égaliser les numérateurs : \[ -11x - 18 = 6x - 1 \] \[ -11x - 6x = -1 + 18 \\ -17x = 17 \\ x = -1 \] **Solution :** \( x = -1 \) --- **Résumé des solutions :** 1. \( x = -\frac{7}{2} \) 2. \( x = \frac{4}{3} \) 3. \( x = \frac{20 + 2\sqrt{5}}{19} \) 4. \( x = \frac{7 - 5\sqrt{3}}{26} \) 5. \( x = 0 \), \( x = -\frac{1}{2} \), \( x = \frac{7}{4} \) 6. \( x = 1 \), \( x = -4 \) 7. \( x = \frac{\sqrt{5}}{2} \) 8. \( x = -1 \)