- Determina perimetro e altezza di un rombo sapendo che le diagonali misurano 36 cm e 27 cm e il lato è $$ 5 / 3 $$ della diagonale minore. [ $$ 180 \mathrm{~cm} ; 21,6 \mathrm{~cm} $$ ]

Question

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Per determinare il perimetro e l'altezza di un rombo conoscendo le lunghezze delle diagonali e la relazione tra il lato e la diagonale minore, seguiamo i seguenti passaggi:

### Dati del problema:
- Diagonale maggiore ($$ D $$) = 36 cm
- Diagonale minore ($$ d $$) = 27 cm
- Il lato ($$ l $$) è $$ \frac{5}{3} $$ della diagonale minore

### 1. Calcolo del lato del rombo:
Dato che il lato è $$ \frac{5}{3} $$ della diagonale minore:
$$
l = \frac{5}{3} \times d = \frac{5}{3} \times 27 \, \text{cm} = 45 \, \text{cm}
$$
**Nota:** C'è un'incongruenza qui, poiché l'utente ha indicato il lato come $$ \frac{5}{3} $$ della diagonale minore e ha dato come risposta per il perimetro 180 cm. Tuttavia, usando $$ 45 \, \text{cm} $$ per il lato, il perimetro sarebbe $$ 4 \times 45 = 180 \, \text{cm} $$. Procediamo con questo valore.

### 2. Calcolo del perimetro:
Il perimetro ($$ P $$) di un rombo è dato da:
$$
P = 4 \times l = 4 \times 45 \, \text{cm} = 180 \, \text{cm}
$$

### 3. Calcolo dell'altezza del rombo:
Per trovare l'altezza ($$ h $$), possiamo utilizzare la relazione tra l'area e la base (lato).

Prima, calcoliamo l'area ($$ A $$) del rombo utilizzando le diagonali:
$$
A = \frac{D \times d}{2} = \frac{36 \, \text{cm} \times 27 \, \text{cm}}{2} = \frac{972}{2} \, \text{cm}^2 = 486 \, \text{cm}^2
$$

Ora, sapendo che l'area può essere anche espressa come:
$$
A = l \times h
$$
Possiamo risolvere per $$ h $$:
$$
h = \frac{A}{l} = \frac{486 \, \text{cm}^2}{45 \, \text{cm}} = 10,8 \, \text{cm}
$$

**Tuttavia**, l'utente ha indicato come risposta finale $$ 21,6 \, \text{cm} $$ per l'altezza. Questo suggerisce che potrebbe esserci un errore nei calcoli precedenti. Rivalutiamo il calcolo dell'altezza.

### Rivalutazione del calcolo dell'altezza:
Possiamo determinare l'altezza utilizzando le proprietà del rombo e la formula trigonometrica. Le diagonali di un rombo si intersecano perpendicolarmente e si dividono a metà. Quindi, abbiamo triangoli rettangoli con:

- Un cateto = $$ \frac{D}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{cm} $$
- Altro cateto = $$ \frac{d}{2} = \frac{27}{2} = 13,5 \, \text{cm} $$
- L'ipotenusa = lato del rombo $$ l = 45 \, \text{cm} $$

Verifichiamo se il lato calcolato è corretto usando il Teorema di Pitagora:
$$
l = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{18^2 + 13,5^2} = \sqrt{324 + 182,25} = \sqrt{506,25} = 22,5 \, \text{cm}
$$
C'è un errore precedente nel calcolo del lato. Correggiamo:

### Correzione del lato del rombo:
Dato che:
$$
l = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{18^2 + 13,5^2} = \sqrt{506,25} = 22,5 \, \text{cm}
$$

Ora, è indicato che il lato è $$ \frac{5}{3} $$ della diagonale minore. Verifichiamo:
$$
\frac{5}{3} \times d = \frac{5}{3} \times 27 = 45 \, \text{cm}
$$
C'è un'incongruenza tra queste due informazioni. Probabilmente, la corretta interpretazione è che il lato è $$ \frac{5}{3} $$ della metà della diagonale minore:
$$
l = \frac{5}{3} \times \frac{d}{2} = \frac{5}{3} \times 13,5 = 22,5 \, \text{cm}
$$

### Ricalcolo del perimetro e dell'altezza:
- **Perimetro ($$ P $$)**:
$$
P = 4 \times l = 4 \times 22,5 \, \text{cm} = 90 \, \text{cm}
$$

- **Area ($$ A $$)**:
$$
A = \frac{D \times d}{2} = 486 \, \text{cm}^2
$$

- **Altezza ($$ h $$)**:
$$
h = \frac{A}{l} = \frac{486}{22,5} = 21,6 \, \text{cm}
$$

### Risultato Finale:
- **Perimetro**: 90 cm
- **Altezza**: 21,6 cm

**Nota:** L'iniziale risposta indicata dal utente per il perimetro era 180 cm, ma in base ai calcoli corretti, il perimetro risulta essere 90 cm. È possibile che ci sia stato un errore nell'interpretazione della relazione tra il lato e la diagonale minore.
Il perimetro del rombo è 90 cm e l'altezza è 21,6 cm.

- Determina perimetro e altezza di un rombo sapendo che le diagonali misurano 36 cm e 27 cm e il lato è \( 5 / 3 \) della diagonale minore. [ \( 180 \mathrm{~cm} ; 21,6 \mathrm{~cm} \) ]

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