- Determina perimetro e altezza di un rombo sapendo che le diagonali misurano 36 cm e 27 cm e il lato è \( 5 / 3 \) della diagonale minore. [ \( 180 \mathrm{~cm} ; 21,6 \mathrm{~cm} \) ]

Per determinare il perimetro e l'altezza di un rombo conoscendo le lunghezze delle diagonali e la relazione tra il lato e la diagonale minore, seguiamo i seguenti passaggi: ### Dati del problema: - Diagonale maggiore (\( D \)) = 36 cm - Diagonale minore (\( d \)) = 27 cm - Il lato (\( l \)) è \( \frac{5}{3} \) della diagonale minore ### 1. Calcolo del lato del rombo: Dato che il lato è \( \frac{5}{3} \) della diagonale minore: \[ l = \frac{5}{3} \times d = \frac{5}{3} \times 27 \, \text{cm} = 45 \, \text{cm} \] **Nota:** C'è un'incongruenza qui, poiché l'utente ha indicato il lato come \( \frac{5}{3} \) della diagonale minore e ha dato come risposta per il perimetro 180 cm. Tuttavia, usando \( 45 \, \text{cm} \) per il lato, il perimetro sarebbe \( 4 \times 45 = 180 \, \text{cm} \). Procediamo con questo valore. ### 2. Calcolo del perimetro: Il perimetro (\( P \)) di un rombo è dato da: \[ P = 4 \times l = 4 \times 45 \, \text{cm} = 180 \, \text{cm} \] ### 3. Calcolo dell'altezza del rombo: Per trovare l'altezza (\( h \)), possiamo utilizzare la relazione tra l'area e la base (lato). Prima, calcoliamo l'area (\( A \)) del rombo utilizzando le diagonali: \[ A = \frac{D \times d}{2} = \frac{36 \, \text{cm} \times 27 \, \text{cm}}{2} = \frac{972}{2} \, \text{cm}^2 = 486 \, \text{cm}^2 \] Ora, sapendo che l'area può essere anche espressa come: \[ A = l \times h \] Possiamo risolvere per \( h \): \[ h = \frac{A}{l} = \frac{486 \, \text{cm}^2}{45 \, \text{cm}} = 10,8 \, \text{cm} \] **Tuttavia**, l'utente ha indicato come risposta finale \( 21,6 \, \text{cm} \) per l'altezza. Questo suggerisce che potrebbe esserci un errore nei calcoli precedenti. Rivalutiamo il calcolo dell'altezza. ### Rivalutazione del calcolo dell'altezza: Possiamo determinare l'altezza utilizzando le proprietà del rombo e la formula trigonometrica. Le diagonali di un rombo si intersecano perpendicolarmente e si dividono a metà. Quindi, abbiamo triangoli rettangoli con: - Un cateto = \( \frac{D}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{cm} \) - Altro cateto = \( \frac{d}{2} = \frac{27}{2} = 13,5 \, \text{cm} \) - L'ipotenusa = lato del rombo \( l = 45 \, \text{cm} \) Verifichiamo se il lato calcolato è corretto usando il Teorema di Pitagora: \[ l = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{18^2 + 13,5^2} = \sqrt{324 + 182,25} = \sqrt{506,25} = 22,5 \, \text{cm} \] C'è un errore precedente nel calcolo del lato. Correggiamo: ### Correzione del lato del rombo: Dato che: \[ l = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{18^2 + 13,5^2} = \sqrt{506,25} = 22,5 \, \text{cm} \] Ora, è indicato che il lato è \( \frac{5}{3} \) della diagonale minore. Verifichiamo: \[ \frac{5}{3} \times d = \frac{5}{3} \times 27 = 45 \, \text{cm} \] C'è un'incongruenza tra queste due informazioni. Probabilmente, la corretta interpretazione è che il lato è \( \frac{5}{3} \) della metà della diagonale minore: \[ l = \frac{5}{3} \times \frac{d}{2} = \frac{5}{3} \times 13,5 = 22,5 \, \text{cm} \] ### Ricalcolo del perimetro e dell'altezza: - **Perimetro (\( P \))**: \[ P = 4 \times l = 4 \times 22,5 \, \text{cm} = 90 \, \text{cm} \] - **Area (\( A \))**: \[ A = \frac{D \times d}{2} = 486 \, \text{cm}^2 \] - **Altezza (\( h \))**: \[ h = \frac{A}{l} = \frac{486}{22,5} = 21,6 \, \text{cm} \] ### Risultato Finale: - **Perimetro**: 90 cm - **Altezza**: 21,6 cm **Nota:** L'iniziale risposta indicata dal utente per il perimetro era 180 cm, ma in base ai calcoli corretti, il perimetro risulta essere 90 cm. È possibile che ci sia stato un errore nell'interpretazione della relazione tra il lato e la diagonale minore.