11 сынып. Алгебра және анализ бастамалары (ЖМБ). III тоқсан «Комплекс сандар» бөлімі бойынша жиынтық бағалау тапсырмалары 1 нұсқа 1. Жазықтықта берілген комплекс сандарды кескіндеңдер: $$ Z_{1}=4 i ; Z_{2}=3+i $$. (3) 2. Комплекс санның түйіндесін тауып, оның модулін табыңдар: $$ Z=3+4 \mathrm{i} $$. (2) 3. Комплекс сандарға амалдар қолданыңдар: а) $$ (3+5 i)^{2} $$; б) $$ \frac{2+3 i}{5-7 i} $$. (3) 4. Теңдік орындалатындай $$ x $$ және у нақты сандарын табыңдар: ( $$ x-3 i)(2+i)=x+y i $$. (4) 5. Теңдеуді шешіңдер: $$ x^{2}-4 x+13=0 $$. 6. Комплекс санның квадрат түбірін табыңдар: $$ z=-7+24 $$. (5)

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Конечно, давайте поэтапно разберём каждую задачу.

---

**1. Изобразите на плоскости комплексные числа: $$ Z_{1}=4i $$ и $$ Z_{2}=3+i $$.**

Комплексное число $$ Z = a + bi $$ можно представить на плоскости как точку с координатами $$ (a, b) $$.

- **$$ Z_{1}=4i $$:**
  - Действительная часть ($$ a $$) = 0
  - Мнимная часть ($$ b $$) = 4
  - Точка: $$ (0, 4) $$

- **$$ Z_{2}=3+i $$:**
  - Действительная часть ($$ a $$) = 3
  - Мнименная часть ($$ b $$) = 1
  - Точка: $$ (3, 1) $$

*На графике:*
- $$ Z_{1} $$ располагается на оси мнимых чисел в точке $$ (0,4) $$.
- $$ Z_{2} $$ располагается в точке $$ (3,1) $$.

---

**2. Найдите аргумент и модуль комплексного числа $$ Z=3+4i $$.**

- **Модуль $$ |Z| $$:**
  $$
  |Z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
  $$

- **Аргумент $$ \theta $$:**
  $$
  \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ
  $$

**Итак:**
- Модуль $$ Z $$ равен **5**.
- Аргумент $$ Z $$ приблизительно равен **53.13°**.

---

**3. Выполните операции с комплексными числами:**

**а) $$ (3+5i)^2 $$:**

Используем формулу квадрата двучлена:
$$
(a + b i)^2 = a^2 + 2 a b i + (b i)^2
$$

$$
(3 + 5i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5i + (5i)^2 = 9 + 30i + 25i^2
$$
$$
i^2 = -1 \Rightarrow 25i^2 = -25
$$
$$
9 - 25 + 30i = -16 + 30i
$$

**Ответ:** $$ (3+5i)^2 = -16 + 30i $$

**б) $$ \frac{2+3i}{5-7i} $$:**

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя:
$$
\frac{2+3i}{5-7i} \cdot \frac{5+7i}{5+7i} = \frac{(2+3i)(5+7i)}{5^2 + 7^2}
$$
$$
= \frac{10 + 14i + 15i + 21i^2}{25 + 49} = \frac{10 + 29i + 21(-1)}{74} = \frac{10 + 29i - 21}{74}
$$
$$
= \frac{-11 + 29i}{74} = -\frac{11}{74} + \frac{29}{74}i
$$

**Ответ:** $$ \frac{2+3i}{5-7i} = -\frac{11}{74} + \frac{29}{74}i $$

---

**4. Найдите $$ x $$ и $$ y $$, если $$ (x - 3i)(2 + i) = x + y i $$.**

Раскроем скобки слева:
$$
(x - 3i)(2 + i) = x \cdot 2 + x \cdot i - 3i \cdot 2 - 3i \cdot i
$$
$$
= 2x + x i - 6i - 3i^2
$$
$$
i^2 = -1 \Rightarrow -3i^2 = 3
$$
$$
= 2x + 3 + (x - 6)i
$$

Приравниваем к правой части:
$$
2x + 3 + (x - 6)i = x + y i
$$

Приравниваем действительные и мнимые части:
$$
\begin{cases}
2x + 3 = x \
x - 6 = y
\end{cases}
$$

Решаем первое уравнение:
$$
2x + 3 = x \Rightarrow x = -3
$$

Подставляем $$ x = -3 $$ во второе уравнение:
$$
y = -3 - 6 = -9
$$

**Ответ:** $$ x = -3 $$, $$ y = -9 $$

---

**5. Решите уравнение: $$ x^{2} - 4x + 13 = 0 $$.**

Находим дискриминант:
$$
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36
$$

Корни комплексные:
$$
x = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i
$$

**Ответ:** Корни уравнения $$ x = 2 + 3i $$ и $$ x = 2 - 3i $$

---

**6. Найдите квадратный корень из комплексного числа $$ z = -7 + 24i $$.**

Ищем $$ \sqrt{z} = a + b i $$, такое что:
$$
(a + b i)^2 = -7 + 24i
$$
Раскрываем:
$$
a^2 - b^2 + 2ab i = -7 + 24i
$$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$
\begin{cases}
a^2 - b^2 = -7 \
2ab = 24 \Rightarrow ab = 12
\end{cases}
$$

Из второго уравнения:
$$
a = \frac{12}{b}
$$

Подставляем в первое уравнение:
$$
\left(\frac{12}{b}\right)^2 - b^2 = -7 \Rightarrow \frac{144}{b^2} - b^2 = -7
$$
Умножаем на $$ b^2 $$:
$$
144 - b^4 = -7b^2 \Rightarrow b^4 - 7b^2 - 144 = 0
$$
Пусть $$ c = b^2 $$:
$$
c^2 - 7c - 144 = 0
$$
Находим дискриминант:
$$
D = 49 + 576 = 625 \Rightarrow \sqrt{D} = 25
$$
Находим $$ c $$:
$$
c = \frac{7 \pm 25}{2}
$$
$$
c_1 = \frac{32}{2} = 16, \quad c_2 = \frac{-18}{2} = -9 \quad (\text{отклоняем, так как } c = b^2 \geq 0)
$$
$$
b^2 = 16 \Rightarrow b = \pm 4
$$
Находим $$ a $$:
$$
a = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{или} \quad a = \frac{12}{-4} = -3
$$

Таким образом, квадратные корни:
$$
\sqrt{-7 + 24i} = 3 + 4i \quad \text{и} \quad -3 - 4i
$$

**Ответ:** $$ \sqrt{-7 + 24i} = 3 + 4i $$ и $$ \sqrt{-7 + 24i} = -3 - 4i $$

---

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется более подробное объяснение какого-либо шага, пожалуйста, дайте знать!
1. На плоскости комплексные числа $$ Z_{1}=4i $$ и $$ Z_{2}=3+i $$ изображены как точки $$ (0,4) $$ и $$ (3,1) $$ соответственно. 2. Для комплексного числа $$ Z=3+4i $$: - Модуль $$ |Z| = 5 $$ - Аргумент $$ \theta \approx 53.13^\circ $$ 3. Вычисления: - $$ (3+5i)^2 = -16 + 30i $$ - $$ \frac{2+3i}{5-7i} = -\frac{11}{74} + \frac{29}{74}i $$ 4. Решение уравнения $$ (x - 3i)(2 + i) = x + y i $$: - $$ x = -3 $$ - $$ y = -9 $$ 5. Решение уравнения $$ x^{2} - 4x + 13 = 0 $$: - Корни: $$ x = 2 + 3i $$ и $$ x = 2 - 3i $$ 6. Квадратные корни из $$ z = -7 + 24i $$: - $$ \sqrt{-7 + 24i} = 3 + 4i $$ и $$ \sqrt{-7 + 24i} = -3 - 4i $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Algebra Questions