14. Repartir el número 1134 en cuatro partes cuyos cuadrados sean D.P. a $$ 12 ; 27 ; 48 $$ y 75 . Dar el valor de la media aritmética entre la menor y la mayor de las partes.

Question

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Sea que se debe repartir el número $$1134$$ en cuatro partes, digamos $$a$$, $$b$$, $$c$$ y $$d$$, de forma que los cuadrados de estas partes guarden la misma proporción que los números $$12$$, $$27$$, $$48$$ y $$75$$. Esto significa que existen un factor de proporcionalidad $$k$$ tal que

$$
a^2=12k,\quad b^2=27k,\quad c^2=48k,\quad d^2=75k.
$$

Como se conocen los cuadrados, las partes serán:

$$
a=\sqrt{12k},\quad b=\sqrt{27k},\quad c=\sqrt{48k},\quad d=\sqrt{75k}.
$$

Además se tiene la condición de que la suma de las partes es $$1134$$:

$$
\sqrt{12k}+\sqrt{27k}+\sqrt{48k}+\sqrt{75k}=1134.
$$

Observamos que cada término puede escribirse como $$\sqrt{k}$$ multiplicado por la raíz correspondiente:
 
$$
a=\sqrt{k}\sqrt{12},\quad b=\sqrt{k}\sqrt{27},\quad c=\sqrt{k}\sqrt{48},\quad d=\sqrt{k}\sqrt{75}.
$$

La suma se puede factorizar:

$$
\sqrt{k}\Bigl(\sqrt{12}+\sqrt{27}+\sqrt{48}+\sqrt{75}\Bigr)=1134.
$$

Simplifiquemos cada raíz:

$$
\sqrt{12}=2\sqrt{3},\quad \sqrt{27}=3\sqrt{3},\quad \sqrt{48}=4\sqrt{3},\quad \sqrt{75}=5\sqrt{3}.
$$

Entonces:

$$
\sqrt{12}+\sqrt{27}+\sqrt{48}+\sqrt{75} = (2+3+4+5)\sqrt{3} = 14\sqrt{3}.
$$

La ecuación para $$\sqrt{k}$$ queda:

$$
\sqrt{k}\, (14\sqrt{3}) = 1134 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{k}=\frac{1134}{14\sqrt{3}}.
$$

Calculemos $$\frac{1134}{14}$$. Como $$14\times81=1134$$, se tiene:

$$
\sqrt{k}=\frac{81}{\sqrt{3}}.
$$

Racionalizando el denominador:

$$
\sqrt{k}=\frac{81\sqrt{3}}{3}=27\sqrt{3}.
$$

Elevando al cuadrado se obtiene el valor de $$k$$:

$$
k=(27\sqrt{3})^2 = 27^2\times 3=729\times 3=2187.
$$

Ahora se determinan las partes:

1. Para $$a$$:

$$
a=\sqrt{12k}=\sqrt{12\times2187}.
$$

Notamos que $$12\times2187=2^2\times3\times3^7=2^2\times3^8$$, luego:

$$
a=2\cdot3^4=2\times81=162.
$$

2. Para $$b$$:

$$
b=\sqrt{27k}=\sqrt{27\times2187}.
$$

Recordando que $$27=3^3$$ y $$2187=3^7$$, se tiene:

$$
27\times2187=3^{3+7}=3^{10}\quad\Longrightarrow\quad b=3^5=243.
$$

3. Para $$c$$:

$$
c=\sqrt{48k}=\sqrt{48\times2187}.
$$

Observamos que $$48=2^4\times3$$ y $$2187=3^7$$ así que:

$$
48\times2187=2^4\times3^8,\quad c=2^2\times3^4=4\times81=324.
$$

4. Para $$d$$:

$$
d=\sqrt{75k}=\sqrt{75\times2187}.
$$

Dado que $$75=3\times25$$ y $$2187=3^7$$, se tiene:

$$
75\times2187=25\times3^8,\quad d=5\times3^4=5\times81=405.
$$

Verifiquemos la suma de las partes:

$$
a+b+c+d=162+243+324+405=1134.
$$

Se nos pide hallar la media aritmética entre la menor y la mayor parte. La menor es $$162$$ y la mayor es $$405$$; su media es:

$$
\text{Media}=\frac{162+405}{2}=\frac{567}{2}.
$$

Por lo tanto, la media aritmética entre la menor y la mayor de las partes es

$$
\frac{567}{2}.
$$
La media aritmética entre la menor y la mayor parte es $$ \frac{567}{2} $$.

Repartir el número 1134 en cuatro partes
cuyos cuadrados sean D.P. a y 75 .
Dar el valor de la media aritmética entre la
menor y la mayor de las partes.

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