1. Construire le triangle $$ A B C $$ tel que $$ A B=6 \mathrm{~cm} $$, $$ \widehat{A B C}=60^{\circ} $$ et $$ \widehat{B A C}=50^{\circ} $$. 2. Soit $$ M $$ le milieu de $$ [B C] $$. Construire le symé- trique $$ A^{\prime} $$ du point $$ A $$ par rapport au point $$ M $$. 3. a. Quelle est la mesure de l'angle $$ \widehat{B^{\prime} C} $$ ? b. Quelle propriété de la symétrie centrale per- met de l'affirmer?

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### 1. Construction du triangle $$ ABC $$

1. **Tracer le segment $$ AB $$** de longueur $$ 6 \, \text{cm} $$.
2. **Placer le point $$ B $$** à l'une des extrémités du segment $$ AB $$ et le point $$ A $$ à l'autre extrémité.
3. **Tracer l'angle $$ \widehat{ABC} = 60^\circ $$** :
   - Utiliser un rapporteur pour mesurer $$ 60^\circ $$ à partir de la ligne $$ AB $$ en direction de $$ C $$.
4. **Tracer l'angle $$ \widehat{BAC} = 50^\circ $$** :
   - Mesurer $$ 50^\circ $$ à partir de la ligne $$ AB $$ en direction de $$ C $$.
5. **Déterminer le point $$ C $$** :
   - Les deux lignes tracées à partir de $$ B $$ et $$ A $$ se croisent en un point $$ C $$. Ce point complète le triangle $$ ABC $$.

### 2. Construction du symétrique $$ A' $$ de $$ A $$ par rapport à $$ M $$

1. **Trouver le milieu $$ M $$** du segment $$ [BC] $$ :
   - Mesurer la longueur de $$ BC $$ et placer le point $$ M $$ à mi-chemin.
2. **Tracer la droite $$ AM $$** :
   - Tracer une ligne droite entre $$ A $$ et $$ M $$.
3. **Construire le symétrique $$ A' $$** :
   - Mesurer la distance $$ AM $$ et reporter cette distance de l'autre côté de $$ M $$ pour trouver le point $$ A' $$.

### 3. Analyse de l'angle $$ \widehat{B'C} $$

#### a. Mesure de l'angle $$ \widehat{B'C} $$

Pour déterminer la mesure de l'angle $$ \widehat{B'C} $$, nous devons utiliser les propriétés de la symétrie centrale.

#### b. Propriété de la symétrie centrale

La symétrie centrale par rapport à un point (ici $$ M $$) a la propriété suivante : les angles formés par les segments reliant les points symétriques et un point donné (ici $$ C $$) sont égaux.

Ainsi, puisque $$ A' $$ est le symétrique de $$ A $$ par rapport à $$ M $$, nous avons :

$$
\widehat{B'A'C} = \widehat{BAC}
$$

Cela signifie que :

$$
\widehat{B'C} = \widehat{B A C} = 50^\circ
$$

En conclusion, l'angle $$ \widehat{B'C} $$ mesure $$ 50^\circ $$ et cela est dû à la propriété de la symétrie centrale qui conserve les angles.
1. Construct triangle $$ ABC $$ with $$ AB = 6 \, \text{cm} $$, $$ \widehat{ABC} = 60^\circ $$, and $$ \widehat{BAC} = 50^\circ $$. 2. Find the midpoint $$ M $$ of $$ BC $$ and construct the symmetric $$ A' $$ of $$ A $$ with respect to $$ M $$. 3. a. The measure of $$ \widehat{B'C} $$ is $$ 50^\circ $$. b. The property of central symmetry allows us to affirm this.

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