Exercice 2. Soit $$ E=\mathbb{R}^{3}, \tau \in \mathbb{R} $$ et $$ A_{\tau}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 0 \ 0 & 0 & \tau\end{array}\right] \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{R}) $$ a) Déterminer pour quelles valeurs de $$ \tau $$ l'application bilinéaire $$ \varphi_{A_{\tau}}: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x^{T} A_{\tau} y $$ est un produit scalaire. b) Pour quelles valeurs de $$ \tau $$ les vecteurs $$ (1,1,1)^{T} $$ et $$ (1,-1,1)^{T} $$ sont-ils ortho- gonaux pour $$ \varphi_{A_{\tau}} $$ ? c) Soit $$ \tau=1 $$. Détermer une base orthogonale pour l'espace euclidien $$ \left(E, \varphi_{1}\right) $$. d) Soit $$ \tau=1 $$. Déterminer le sous-espace orthogonale au sous-espace $$ F=\operatorname{Vect}\left((1,-1,1)^{T}\right) $$ dans l'espace euclidien $$ \left(E, \varphi_{1}\right) $$.

Question

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**Exercice 2**

**a) Détermination des valeurs de $$ \tau $$ pour lesquelles $$ \varphi_{A_{\tau}} $$ est un produit scalaire**

Pour que l'application bilinéaire $$ \varphi_{A_{\tau}} $$ soit un produit scalaire, deux conditions doivent être satisfaites :

1. **Symétrie** : La matrice $$ A_{\tau} $$ doit être symétrique.
2. **Définie positive** : Pour tout vecteur non nul $$ x \in \mathbb{R}^{3} $$, $$ \varphi_{A_{\tau}}(x, x) > 0 $$.

Analysons ces conditions pour la matrice donnée :
$$
A_{\tau} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \
1 & 2 & 0 \
0 & 0 & \tau
\end{pmatrix}
$$

1. **Symétrie** :
   La matrice $$ A_{\tau} $$ est clairement symétrique car $$ A_{\tau} = A_{\tau}^{T} $$.

2. **Définie positive** :
   Pour vérifier que $$ A_{\tau} $$ est définie positive, nous devons vérifier que tous les mineurs principaux sont positifs.

- **Premier mineur principal (1×1)** :
     $$
     \Delta_1 = 1 > 0
     $$
   
   - **Second mineur principal (2×2)** :
     $$
     \Delta_2 = \begin{vmatrix}
     1 & 1 \
     1 & 2
     \end{vmatrix} = (1)(2) - (1)(1) = 1 > 0
     $$
   
   - **Déterminant de $$ A_{\tau} $$ (3×3)** :
     $$
     \Delta_3 = \det(A_{\tau}) = \begin{vmatrix}
     1 & 1 & 0 \
     1 & 2 & 0 \
     0 & 0 & \tau
     \end{vmatrix} = \tau \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = \tau \cdot 1 = \tau
     $$
   
   Pour que $$ \Delta_3 > 0 $$, il faut que $$ \tau > 0 $$.

**Conclusion :** L'application bilinéaire $$ \varphi_{A_{\tau}} $$ est un produit scalaire si et seulement si $$ \tau > 0 $$.

**Réponse :**

Problem a Answer:

Pour que $$ \varphi_{A_{\tau}} $$ soit un produit scalaire, la matrice $$ A_{\tau} $$ doit être symétrique et définie positive. La matrice $$ A_{\tau} $$ est symétrique pour tout $$ \tau $$. De plus, les mineurs principaux sont :
- $$ \Delta_1 = 1 > 0 $$,
- $$ \Delta_2 = \begin{vmatrix}1 & 1\1 & 2\end{vmatrix} = 1 > 0 $$,
- $$ \Delta_3 = \det(A_{\tau}) = \tau $$.

Ainsi, $$ A_{\tau} $$ est définie positive si et seulement si $$ \tau > 0 $$.

**Donc, $$ \varphi_{A_{\tau}} $$ est un produit scalaire pour tout réel $$ \tau $$ tel que $$ \tau > 0 $$.**

---
**Exercice 2** **a) Pour que $$ \varphi_{A_{\tau}} $$ soit un produit scalaire, $$ \tau $$ doit être supérieur à zéro.** **b) Pour $$ \tau = 1 $$, les vecteurs $$ (1,1,1)^{T} $$ et $$ (1,-1,1)^{T} $$ sont orthogonaux.** **c) Une base orthogonale pour $$ \left(E, \varphi_{1}\right) $$ est $$ \{(1,0,0)^{T}, (0,1,0)^{T}, (0,0,1)^{T}\} $$.** **d) Le sous-espace orthogonal à $$ F = \operatorname{Vect}\left((1,-1,1)^{T}\right) $$ est $$ \{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \mid x - y + z = 0\} $$.

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