Exercice 2. Soit \( E=\mathbb{R}^{3}, \tau \in \mathbb{R} \) et \( A_{\tau}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \tau\end{array}\right] \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{R}) \) a) Déterminer pour quelles valeurs de \( \tau \) l'application bilinéaire \[ \varphi_{A_{\tau}}: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto x^{T} A_{\tau} y \] est un produit scalaire. b) Pour quelles valeurs de \( \tau \) les vecteurs \( (1,1,1)^{T} \) et \( (1,-1,1)^{T} \) sont-ils ortho- gonaux pour \( \varphi_{A_{\tau}} \) ? c) Soit \( \tau=1 \). Détermer une base orthogonale pour l'espace euclidien \( \left(E, \varphi_{1}\right) \). d) Soit \( \tau=1 \). Déterminer le sous-espace orthogonale au sous-espace \[ F=\operatorname{Vect}\left((1,-1,1)^{T}\right) \] dans l'espace euclidien \( \left(E, \varphi_{1}\right) \).

**Exercice 2** **a) Détermination des valeurs de \( \tau \) pour lesquelles \( \varphi_{A_{\tau}} \) est un produit scalaire** Pour que l'application bilinéaire \( \varphi_{A_{\tau}} \) soit un produit scalaire, deux conditions doivent être satisfaites : 1. **Symétrie** : La matrice \( A_{\tau} \) doit être symétrique. 2. **Définie positive** : Pour tout vecteur non nul \( x \in \mathbb{R}^{3} \), \( \varphi_{A_{\tau}}(x, x) > 0 \). Analysons ces conditions pour la matrice donnée : \[ A_{\tau} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \tau \end{pmatrix} \] 1. **Symétrie** : La matrice \( A_{\tau} \) est clairement symétrique car \( A_{\tau} = A_{\tau}^{T} \). 2. **Définie positive** : Pour vérifier que \( A_{\tau} \) est définie positive, nous devons vérifier que tous les mineurs principaux sont positifs. - **Premier mineur principal (1×1)** : \[ \Delta_1 = 1 > 0 \] - **Second mineur principal (2×2)** : \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (1)(1) = 1 > 0 \] - **Déterminant de \( A_{\tau} \) (3×3)** : \[ \Delta_3 = \det(A_{\tau}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \tau \end{vmatrix} = \tau \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = \tau \cdot 1 = \tau \] Pour que \( \Delta_3 > 0 \), il faut que \( \tau > 0 \). **Conclusion :** L'application bilinéaire \( \varphi_{A_{\tau}} \) est un produit scalaire si et seulement si \( \tau > 0 \). **Réponse :** Problem a Answer: Pour que \( \varphi_{A_{\tau}} \) soit un produit scalaire, la matrice \( A_{\tau} \) doit être symétrique et définie positive. La matrice \( A_{\tau} \) est symétrique pour tout \( \tau \). De plus, les mineurs principaux sont : - \( \Delta_1 = 1 > 0 \), - \( \Delta_2 = \begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{vmatrix} = 1 > 0 \), - \( \Delta_3 = \det(A_{\tau}) = \tau \). Ainsi, \( A_{\tau} \) est définie positive si et seulement si \( \tau > 0 \). **Donc, \( \varphi_{A_{\tau}} \) est un produit scalaire pour tout réel \( \tau \) tel que \( \tau > 0 \).** ---