5. La siguiente función cuadrática relaciona la altura de un objeto en función del tiempo $$ h(t)=-5 t^{2}+40 t+10 $$ Encuentre: a) La altura inicial b) La altura máxima c) El tiempo que se demora en caer al suelo.

Question

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Claro, resolvamos cada uno de los apartados paso a paso.

### a) **La altura inicial**

La altura inicial es la altura del objeto en el instante en que el tiempo $$ t = 0 $$.

$$
h(0) = -5(0)^2 + 40(0) + 10 = 10
$$

**Respuesta:** La altura inicial es de **10 unidades**.

---

### b) **La altura máxima**

Para encontrar la altura máxima de la función cuadrática $$ h(t) = -5t^2 + 40t + 10 $$, identificamos que la función es una parábola que se abre hacia abajo (ya que el coeficiente de $$ t^2 $$ es negativo). La altura máxima se alcanza en el vértice de la parábola.

La fórmula para el tiempo en que ocurre el vértice es:

$$
t_v = -\frac{b}{2a}
$$

Donde $$ a = -5 $$ y $$ b = 40 $$:

$$
t_v = -\frac{40}{2(-5)} = \frac{40}{10} = 4 \text{ segundos}
$$

Ahora, sustituimos $$ t_v $$ en la función para encontrar la altura máxima:

$$
h(4) = -5(4)^2 + 40(4) + 10 = -5(16) + 160 + 10 = -80 + 160 + 10 = 90
$$

**Respuesta:** La altura máxima es de **90 unidades**, alcanzada en **4 segundos**.

---

### c) **El tiempo que se demora en caer al suelo**

El objeto toca el suelo cuando la altura $$ h(t) = 0 $$. Por lo tanto, resolvemos la ecuación:

$$
-5t^2 + 40t + 10 = 0
$$

Dividimos toda la ecuación por $$-5$$ para simplificar:

$$
t^2 - 8t - 2 = 0
$$

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$$
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Donde $$ a = 1 $$, $$ b = -8 $$ y $$ c = -2 $$:

$$
t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 8}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 3\sqrt{2}
$$

Como el tiempo no puede ser negativo, tomamos la solución positiva:

$$
t = 4 + 3\sqrt{2} \approx 4 + 4.24 = 8.24 \text{ segundos}
$$

**Respuesta:** El objeto tarda aproximadamente **8.24 segundos** en caer al suelo.
**Respuestas:** a) **Altura inicial:** 10 unidades b) **Altura máxima:** 90 unidades, alcanzada en 4 segundos c) **Tiempo para caer al suelo:** Aproximadamente 8.24 segundos

5. La siguiente función cuadrática relaciona la altura de un objeto en función del tiempo \[ h(t)=-5 t^{2}+40 t+10 \] Encuentre: a) La altura inicial b) La altura máxima c) El tiempo que se demora en caer al suelo.

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